¿Cuáles son los valores máximos y mínimos que la función f (x) = x / (1 + x ^ 2)?

Responder:

Máximo: #1/2#

Mínimo: #-1/2#

Explicación:

Un enfoque alternativo es reorganizar la función en una ecuación cuadrática. Me gusta esto:

#f (x) = x / (1 + x ^ 2) rarrf (x) x ^ 2 + f (x) = xrarrf (x) x ^ 2-x + f (x) = 0 #

Dejar #f (x) = c "" # para que se vea más ordenado:-)

# => cx ^ 2-x + c = 0 #

Recordemos que para todas las raíces reales de esta ecuación el discriminante es positivo o cero

Entonces tenemos, # (- 1) ^ 2-4 (c) (c)> = 0 "" => 4c ^ 2-1 <= 0 "" => (2c-1) (2c + 1) <= 0 #

Es fácil reconocer que # -1 / 2 <= c <= 1/2 #

Por lo tanto, # -1 / 2 <= f (x) <= 1/2 #

Esto demuestra que el máximo es #f (x) = 1/2 # y el mínimo es #f (x) = 1/2 #

La gráfica de la función f (x) = (x + 2) (x + 6) se muestra a continuación. ¿Qué afirmación sobre la función es verdadera? La función es positiva para todos los valores reales de x donde x> –4. La función es negativa para todos los valores reales de x donde –6 <x <–2.

La función es negativa para todos los valores reales de x donde –6 <x <–2.

Los ceros de una función f (x) son 3 y 4, mientras que los ceros de una segunda función g (x) son 3 y 7. ¿Cuáles son los cero (s) de la función y = f (x) / g (x )?

Solo cero de y = f (x) / g (x) es 4. Como los ceros de una función f (x) son 3 y 4, esto significa que (x-3) y (x-4) son factores de f (x ). Además, los ceros de una segunda función g (x) son 3 y 7, lo que significa que (x-3) y (x-7) son factores de f (x). Esto significa que en la función y = f (x) / g (x), aunque (x-3) debe cancelar el denominador g (x) = 0 no está definido, cuando x = 3. Tampoco se define cuando x = 7. Por lo tanto, tenemos un agujero en x = 3. y solo el cero de y = f (x) / g (x) es 4.

¿Cómo determina dónde aumenta o disminuye la función, y determina dónde se producen los máximos y mínimos relativos para f (x) = (x - 1) / x?

Necesitas su derivado para saber eso. Si queremos saber todo sobre f, necesitamos f '. Aquí, f '(x) = (x-x + 1) / x ^ 2 = 1 / x ^ 2. Esta función siempre es estrictamente positiva en RR sin 0, por lo que su función aumenta estrictamente en] -oo, 0 [y crece estrictamente en] 0, + oo [. Tiene un mínimo en] -oo, 0 [, es 1 (aunque no alcanza este valor) y tiene un máximo en] 0, + oo [, también es 1.