¿Cuáles son las asíntotas y las discontinuidades removibles, si las hay, de f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1)?

Responder:

#f (x) # tiene una asíntota horizontal # y = 0 # y una asíntota vertical # x = 0 #

Explicación:

Dado:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x-1) #

• El dominio del numerador. #sqrt (x) # es # 0, oo) #

• El dominio del denominador. # e ^ x - 1 # es # (- oo, oo) #

• El denominador es cero cuando # e ^ x = 1 #, que para valores reales de #X# solo ocurre cuando # x = 0 #

De ahí el dominio de #f (x) # es # (0, oo) #

Usando la expansión de la serie de # e ^ x #, tenemos:

#f (x) = sqrt (x) / (e ^ x - 1) #

#color (blanco) (f (x)) = sqrt (x) / ((1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) - 1) #

#color (blanco) (f (x)) = sqrt (x) / (x + x ^ 2/2 + x ^ 3/6 + …) #

#color (blanco) (f (x)) = 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …) #

Asi que:

#lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) #

#color (blanco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x) (1 + 0 + 0 + …)) #

#color (blanco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = lim_ (x-> 0 ^ +) 1 / (sqrt (x)) #

#color (blanco) (lim_ (x-> 0 ^ +) f (x)) = + oo #

y:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) 1 / (sqrt (x) (1 + x / 2 + x ^ 2/6 + …)) = 0 #

Asi que #f (x) # tiene una asíntota vertical # x = 0 # y una asíntota horizontal # y = 0 #

gráfico {sqrt (x) / (e ^ x-1) -6.1, 13.9, -2.92, 7.08}