¿Cómo integraría int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Responder:

Esta integral no existe.

Explicación:

Ya que #ln x> 0 # en el intervalo # 1, e #, tenemos

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

Aquí, para que la integral se convierta.

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Sustituir #ln x = u #, entonces # dx / x = du # así que eso

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {Ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Esta es una integral impropia, ya que el integrand diverge en el límite inferior. Esto se define como

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

si esto existe Ahora

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

ya que esto diverge en el límite #l -> 0 ^ + #, la integral no existe.

Responder:

# pi / 2 #

Explicación:

La integral # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Sustituir primero # u = ln (x) # y # "d" u = ("d" x) / x #.

Así, tenemos

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Ahora, sustituto # u = pecado (v) # y # "d" u = cos (v) "d" v #.

Entonces, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # ya que # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Continuando, tenemos

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #