¿Prueba por inducción que f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) es divisible por 5 para n en ZZ ^ +?

Responder:

Vea abajo.

Explicación:

Tenga en cuenta que para #metro# extraño tenemos

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

Lo que demuestra la afirmación.

Ahora por inducción finita.

por #n = 1 #

#2+3 = 5# que es divisible

ahora suponiendo que

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # es divisible tenemos

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # que es divisible por #5#

asi que es verdad