¿Por qué son importantes las permutaciones?

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Vea a continuación algunos pensamientos:

Explicación:

Primero hablemos de lo que es una permutación. Para hacer eso, primero hablaré de factoriales.

Cuando ordenamos un montón de cosas y el orden es importante (como el número de formas de ordenar los libros en un conjunto de enciclopedia de 10 volúmenes), podemos ver que hay #10!# formas de organizar los libros: el primer libro en el estante puede ser cualquiera de los 10 libros, el segundo en el estante puede ser cualquiera de los 9 restantes, el tercero en el estante puede ser cualquiera de los 8 restantes, y así sucesivamente, dando:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4xx3xx2xx1 = 10! = 3,628,800 #

Y esto funciona muy bien si queremos organizar todo lo que tienes a mano. ¿Pero qué pasa si queremos arreglar las cosas pero no todas las cosas? Digamos que tenemos 10 figuras de acción pero solo tenemos espacio en el estante para 6 de ellas. ¿De cuántas maneras diferentes podemos mostrar las figuras?

Podríamos calcularlo diciendo que hay 10 cifras que podríamos colocar en la posición uno en el estante, luego 9 en la posición dos, 8 en la posición tres, y así sucesivamente, dando:

# 10xx9xx8xx7xx6xx5xx4 = "presionó mucho la tecla de tiempo en la calculadora" #

Podemos reducir este trabajo al ver que nuestra cadena de multiplicación es la misma que:

# ((10xx9xx8xx7xx6xx5) (4xx3xx2xx1)) / (4xx3xx2xx1) = (10!) / (4!) #

que podemos reescribir:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)#

y ahora tenemos todo en términos de lo que sabíamos (seleccionando 6 cosas de una población de 10 cosas) y esto es lo que es una permutación:

#P_ (n, k) = (n!) / ((N-k)!); n = "población", k = "selecciones" #

Un factorial es un número establecido, sabemos que #10! = 3,628,800# y #4! = 24#Y así podemos encontrar esa respuesta final diciendo:

#(10!)/(4!)=(10!)/((10-6)!)=3628800/24=151,200#

Así que hemos descubierto que las permutaciones son excelentes para ahorrar mucho trabajo al calcular la cantidad de formas en que se pueden ordenar las cosas donde el orden de los arreglos es importante. Cuanto trabajo Consideremos esta pregunta:

"Un vuelo de avión está sobrevendido. Hay 300 personas con boletos para subir a un avión que tiene 250 asientos. ¿De cuántas maneras diferentes podemos organizar a las personas en el avión?"

La respuesta es #P_ (300,250) = (300!) / (50!) #

(La respuesta numérica aproximada es # 9.5xx10 ^ 121 #)