¿Cómo demuestras (1 - sen x) / (1 + sen x) = (sec x + tan x) ^ 2?

Responder:

Usa unas pocas identidades trigonométricas y simplifica. Vea abajo.

Explicación:

Creo que hay un error en la pregunta, pero no es gran cosa. Para que tenga sentido, la pregunta debe leerse:

# (1-sinx) / (1 + sinx) = (secx - tanx) ^ 2 #

De cualquier manera, comenzamos con esta expresión:

# (1-sinx) / (1 + sinx) #

(Cuando se prueban las identidades de trigono, generalmente es mejor trabajar en el lado que tiene una fracción).

Usemos un buen truco llamado multiplicación de conjugados, donde multiplicamos la fracción por el denominador conjugado:

# (1-sinx) / (1 + sinx) * (1-sinx) / (1-sinx) #

# = ((1-sinx) (1-sinx)) / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

# = (1-sinx) ^ 2 / ((1 + sinx) (1-sinx)) #

El conjugado de # a + b # es # a-b #, entonces el conjugado de # 1 + sinx # es # 1-sinx #; nosotros multiplicamos por # (1-sinx) / (1-sinx) # Para equilibrar la fracción.

Tenga en cuenta que # (1 + sinx) (1-sinx) # En realidad es una diferencia de cuadrados, que tiene la propiedad:

# (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Aquí, vemos que # a = 1 # y # b = sinx #, asi que:

# (1 + sinx) (1-sinx) = (1) ^ 2- (sinx) ^ 2 = 1-sin ^ 2x #

De la identidad pitagórica # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, se deduce que (después de restar # sin ^ 2x # de ambos lados), # cos ^ 2x = 1-pecado ^ 2x #.

Wow, nos fuimos de # (1-sinx) / (1-sinx) # a # 1-sin ^ 2x # a # cos ^ 2x #! Ahora nuestro problema se ve como:

# (1-sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Vamos a ampliar el numerador:

# (1-2sinx + sin ^ 2x) / cos ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

(Recuerda: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #)

Ahora, vamos a dividir las fracciones:

# 1 / cos ^ 2x- (2sinx) / cos ^ 2x + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2 * sinx / cosx * 1 / cosx + sin ^ 2x / cos ^ 2x #

# = sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x #

Como simplificar ese ? Bueno, recuerda cuando dije "Recuerda: # (a-b) ^ 2 = a ^ 2-2ab + b ^ 2 #'?

Resulta que # sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x # es en realidad # (secx-tanx) ^ 2 #. Si dejamos # a = secx # y # b = tanx #, podemos ver que esta expresión es:

#enrazo ((a) ^ 2) _secx-2 (a) (b) + bajo rendimiento ((b) ^ 2) _tanx #

Lo que, como acabo de decir es equivalente a # (a-b) ^ 2 #. Reemplazar #una# con # secx # y #segundo# con # tanx # y usted obtiene:

# sec ^ 2x-2tanxsecx + tan ^ 2x = (secx-tanx) ^ 2 #

Y hemos completado el proodo:

# (secx-tanx) ^ 2 = (secx-tanx) ^ 2 #

¿Cómo demuestras que la derivada de una función impar es par?

Para una función dada f, su derivada viene dada por g (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h Ahora debemos mostrar que, si f (x) es una función impar (en otras palabras, -f (x) = f (-x) para todas las x) luego g (x) es una función par (g (-x) = g (x)). Con esto en mente, veamos qué es g (-x): g (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h Desde f (-x ) = - f (x), lo anterior es igual a g (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (xh) + f (x)) / h Defina una nueva variable k = -h. Como h-> 0, también k-> 0. Por lo tanto, lo anterior se convierte en g (-x) = lim_ (k-> 0) (f (x + k) -f (k)) / k =

¿Cómo demuestras que Tan ^ 2 (x / 2 + Pi / 4) = (1 + sinx) / (1-sinx)?

Prueba a continuación (es una larga) Trabajaré al revés (pero escribirlo también funcionaría): (1 + sinx) / (1-sinx) = (1 + sinx) / (1-sinx) * (1 + sinx) / (1 + sinx) = (1 + sinx) ^ 2 / (1-sin ^ 2x) = (1 + sinx) ^ 2 / cos ^ 2x = ((1 + sinx) / cosx) ^ 2 Luego sustituya en la fórmula t (Explicación a continuación) = ((1+ (2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 = (( 1 + t ^ 2 + 2t) / (1 + t ^ 2)) / ((1-t ^ 2) / (1 + t ^ 2))) ^ 2 = ((1 + t ^ 2 + 2t) / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + 2t + t ^ 2) / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + t) ^ 2 / (1-t ^ 2)) ^ 2 = ((1 + t) ^ 2 / ((1-t) (1 + t))) ^ 2 = (

¿Cómo demuestras que sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Hacer un poco de multiplicación conjugada, hacer uso de identidades trigonométricas y simplificar. Vea abajo. Recordemos la identidad pitagórica sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1. Divida ambos lados por cos ^ 2x: (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x Haremos uso de esta importante identidad. Centrémonos en esta expresión: secx + 1 Tenga en cuenta que esto es equivalente a (secx + 1) / 1. Multiplica la parte superior e inferior por secx-1 (esta técnica se conoce como multiplicación conjugada): (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) -> ((secx + 1) (secx-1 )) /