¿Cómo demuestras que la derivada de una función impar es par?

Para una función dada #F#, su derivado viene dado por

#g (x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #

Ahora tenemos que demostrar que, si #f (x) # es una función impar (en otras palabras, # -f (x) = f (-x) # para todos #X#) entonces #g (x) # es una función par (#g (-x) = g (x) #).

Con esto en mente, veamos que #g (-x) # es:

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (f (-x + h) -f (-x)) / h #

Ya que #f (-x) = - f (x) #, lo anterior es igual a

#g (-x) = lim_ (h-> 0) (- f (x-h) + f (x)) / h #

Definir una nueva variable. # k = -h #. Como # h-> 0 #, también lo hace # k-> 0 #. Por lo tanto, lo anterior se convierte en

#g (-x) = lim_ (k-> 0) (f (x + k) -f (k)) / k = g (x) #

Por lo tanto, si #f (x) # Es una función impar, su derivada. #g (x) # Será una función par.

# "Q.E.D." #