Sea f (x) = x-1. 1) Verifique que f (x) no sea ni par ni impar. 2) ¿Se puede escribir f (x) como la suma de una función par y una función impar? a) Si es así, exhibir una solución. ¿Hay más soluciones? b) De no ser así, demostrar que es imposible.

Dejar #f (x) = | x -1 | #.

Si f fuera par, entonces #f (-x) # sería igual #f (x) # para todos los x.

Si f fuera impar, entonces #f (-x) # sería igual # -f (x) # para todos los x.

Observe que para x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Como 0 no es igual a 2 o a -2, f no es ni par ni impar.

Podría ser escrito como #g (x) + h (x) #, donde g es par y h es impar?

Si eso fuera verdad entonces #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Llame a esta declaración 1.

Reemplace x por -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Como g es par y h es impar, tenemos:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Llame a esta declaración 2.

Poniendo las declaraciones 1 y 2 juntas, vemos que

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

AÑADIR ESTAS para obtener

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Esto es de hecho incluso, ya que #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

De la declaración 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Esto es realmente extraño, ya que

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.