Un triángulo isósceles tiene lados A, B y C con lados B y C de igual longitud. Si el lado A va de (1, 4) a (5, 1) y el área del triángulo es 15, ¿cuáles son las coordenadas posibles de la tercera esquina del triángulo?

Responder:

Los dos vértices forman una base de longitud 5, por lo que la altitud debe ser 6 para obtener el área 15. El pie es el punto medio de los puntos, y seis unidades en cualquier dirección perpendicular dan # (33/5, 73/10)# o #(- 3/5, - 23/10) #.

Explicación:

Consejo profesional: intente seguir la convención de las letras pequeñas para los lados de triángulos y las mayúsculas para los vértices de triángulos.

Nos dan dos puntos y un área de un triángulo isósceles. Los dos puntos forman la base, # b = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5. #

El pie #F# de la altitud es el punto medio de los dos puntos, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

El vector de dirección entre los puntos es #(1-5, 4-1)=(-4,3)# con magnitud 5 como se acaba de calcular. Obtenemos el vector de dirección de la perpendicular cambiando los puntos y negando uno de ellos: #(3,4)# que también debe tener magnitud cinco.

Desde la zona # A = frac 1 2 b h = 15 # obtenemos # h = (2 * 15) /b=6.#

Así que necesitamos movernos #6# unidades de #F# en cualquier dirección perpendicular para obtener nuestro tercer vértice que he llamado #DO#:

# C = F pm 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) o C = (- 3/5, - 23/10) #

Comprobar: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

El área firmada es entonces la mitad del producto cruzado.

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

Ese es el final, pero vamos a generalizar un poco la respuesta. Olvidémonos de ser isósceles. Si tenemos C (x, y), el área viene dada por la fórmula del cordón de zapato:

# A = frac 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

El area es #15#:

# pm 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 pm 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # o # -11 = 3x + 4y #

Entonces, si el vértice C está en cualquiera de esas dos líneas paralelas, tendremos un triángulo del área 15.

Dejar # PR = A # ser el lado del triángulo isósceles que tiene las coordenadas de sus puntos finales de la siguiente manera

#Pto (1,4) # y #Rto (5,1) #

Sean las coordenadas del tercer punto del triángulo # (x, y) #.

Como # (x, y) # es equidistante de P y R podemos escribir

# (x-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y + 1 #

# => 8x-6y = 9 #

# => x = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Otra vez # (x, y) # siendo equidistantes de P y R, la perpendicular se redujo de # (x, y) # a # PR # debe bisecarlo, Deje este pie del punto perpendicular o medio de # PR # ser # T #

Así que las coordenadas de #Tto (3,2.5) #

Ahora la altura del triángulo isósceles.

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) #

Y la base del triángulo isósceles.

# PR = A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Así que por el problema su área

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Por 2 y 1 obtenemos

# ((9 + 6y) / 8-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2 = 36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => y ^ 2-5y + 6.25 = 4.8 ^ 2 #

# => (y-2.5) ^ 2 = 4.8 ^ 2 #

# => y = 2.5pm4.8 #

Asi que # y = 7.3 y y = -2.3 #

cuando # y = 7.3 #

# x = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

cuando # y = -2.3 #

# x = (9 + 6xx (-2.3)) / 8 = -0.6 #

Así que las coordenadas del tercer punto serán

# (6.6,7.3) a "Q en la figura" #

O

# (- 0.6, -2.3) a "S en la figura" #