¿Cuál es la raíz cuadrada de 5?

La raíz cuadrada de #5# no se puede simplificar el padre de lo que ya está, así que aquí está # sqrt5 # a diez decimales:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Responder:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # Es un número irracional.

Explicación:

Todos los números positivos normalmente tienen dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa del mismo tamaño. Denotamos la raíz cuadrada positiva (a.k.a. principal) de #norte# por #sqrt (n) #.

Una raíz cuadrada de un número. #norte# es un numero #X# tal que # x ^ 2 = n #. Así que si # x ^ 2 = n # Después también # (- x) ^ 2 = n #.

Sin embargo, el uso popular es que "la raíz cuadrada" se refiere a la positiva.

Supongamos que tenemos un número positivo #X# que satisface:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Luego multiplicando ambos lados por # (2 + x) # obtenemos:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Luego restando # 2x # De ambos lados obtenemos:

# x ^ 2 = 5 #

Así que hemos encontrado:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (blanco) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Una vez que esta fracción continua no termina, podemos decir que #sqrt (5) # no se puede representar como una fracción de terminación, es decir, un número racional. Asi que #sqrt (5) # Es un número irracional un poco más pequeño que #2 1/4 = 9/4#. Para mejores aproximaciones racionales puede terminar la fracción continua después de más términos.

Por ejemplo:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Desembalar estas fracciones continuas puede ser un poco tedioso, por lo que generalmente prefiero usar un método diferente, a saber, la proporción limitante de una secuencia entera definida recursivamente.

Define una secuencia por:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Los primeros términos son:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

La relación entre términos tenderá a # 2 + sqrt (5) #.

Así encontramos:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #