¿Cuál es la raíz cuadrada de 5?

La raíz cuadrada de #5# no se puede simplificar el padre de lo que ya está, así que aquí está # sqrt5 # a diez decimales:

# sqrt5 ~~ 2.2360679775 … #

Responder:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) ~~ 2889/1292 ~~ 2.236068 # Es un número irracional.

Explicación:

Todos los números positivos normalmente tienen dos raíces cuadradas, una positiva y una negativa del mismo tamaño. Denotamos la raíz cuadrada positiva (a.k.a. principal) de #norte# por #sqrt (n) #.

Una raíz cuadrada de un número. #norte# es un numero #X# tal que # x ^ 2 = n #. Así que si # x ^ 2 = n # Después también # (- x) ^ 2 = n #.

Sin embargo, el uso popular es que "la raíz cuadrada" se refiere a la positiva.

Supongamos que tenemos un número positivo #X# que satisface:

#x = 2 + 1 / (2 + x) #

Luego multiplicando ambos lados por # (2 + x) # obtenemos:

# x ^ 2 + 2x = 2x + 5 #

Luego restando # 2x # De ambos lados obtenemos:

# x ^ 2 = 5 #

Así que hemos encontrado:

#sqrt (5) = 2 + 1 / (2 + sqrt (5)) #

#color (blanco) (sqrt (5)) = 2 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + 1 / (4 + …))))) #

Una vez que esta fracción continua no termina, podemos decir que #sqrt (5) # no se puede representar como una fracción de terminación, es decir, un número racional. Asi que #sqrt (5) # Es un número irracional un poco más pequeño que #2 1/4 = 9/4#. Para mejores aproximaciones racionales puede terminar la fracción continua después de más términos.

Por ejemplo:

#sqrt (5) ~~ 2 + 1 / (4 + 1/4) = 2 + 4/17 = 38/17 ~~ 2.235 #

Desembalar estas fracciones continuas puede ser un poco tedioso, por lo que generalmente prefiero usar un método diferente, a saber, la proporción limitante de una secuencia entera definida recursivamente.

Define una secuencia por:

# {(a_0 = 0), (a_1 = 1), (a_ (n + 2) = 4a_ (n + 1) + a_n):} #

Los primeros términos son:

#0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473#

La relación entre términos tenderá a # 2 + sqrt (5) #.

Así encontramos:

#sqrt (5) ~~ 5473/1292 - 2 = 2889/1292 ~~ 2.236068 #

¿Cuál es la forma simplificada de la raíz cuadrada de 10 - raíz cuadrada de 5 sobre la raíz cuadrada de 10 + raíz cuadrada de 5?

(sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5) = 3-2sqrt (2) (sqrt (10) -sqrt (5)) / (sqrt (10) + sqrt (5) ) color (blanco) ("XXX") = cancelar (sqrt (5)) / cancelar (sqrt (5)) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) color (blanco) (" XXX ") = (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) +1) * (sqrt (2) -1) / (sqrt (2) -1) color (blanco) (" XXX ") = ( sqrt (2) -1) ^ 2 / ((sqrt (2) ^ 2-1 ^ 2) color (blanco) ("XXX") = (2-2sqrt2 + 1) / (2-1) color (blanco) ("XXX") = 3-2sqrt (2)

¿Cuál es la raíz cuadrada de 3 + la raíz cuadrada de 72 - la raíz cuadrada de 128 + la raíz cuadrada de 108?

7sqrt (3) - 2sqrt (2) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + sqrt (108) Sabemos que 108 = 9 * 12 = 3 ^ 3 * 2 ^ 2, entonces sqrt (108) = sqrt (3 ^ 3 * 2 ^ 2) = 6sqrt (3) sqrt (3) + sqrt (72) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sabemos que 72 = 9 * 8 = 3 ^ 2 * 2 ^ 3, entonces sqrt (72) = sqrt (3 ^ 2 * 2 ^ 3) = 6sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - sqrt (128) + 6sqrt (3) Sabemos que 128 = 2 ^ 7 , entonces sqrt (128) = sqrt (2 ^ 6 * 2) = 8sqrt (2) sqrt (3) + 6sqrt (2) - 8sqrt (2) + 6sqrt (3) Simplificando 7sqrt (3) - 2sqrt (2)

¿Cuál es la raíz cuadrada de 7 + raíz cuadrada de 7 ^ 2 + raíz cuadrada de 7 ^ 3 + raíz cuadrada de 7 ^ 4 + raíz cuadrada de 7 ^ 5?

Sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) Lo primero que podemos hacer es cancelar las raíces en las que tienen poderes par. Dado que: sqrt (x ^ 2) = x y sqrt (x ^ 4) = x ^ 2 para cualquier número, podemos decir que sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + sqrt (7 ^ 3) + 49 + sqrt (7 ^ 5) Ahora, 7 ^ 3 puede reescribirse como 7 ^ 2 * 7, y que 7 ^ 2 puede salir de la raíz! Lo mismo se aplica a 7 ^ 5, pero se reescribe como 7 ^ 4 * 7 sqrt (7) + sqrt (7 ^ 2) + sqrt (7 ^ 3) + sqrt (7 ^ 4) + sqrt (7 ^ 5) = sqrt (7) + 7 + 7sqrt (7) + 49 + 49sqr