Un acorde con una longitud de 12 se extiende desde pi / 12 a pi / 6 radianes en un círculo. ¿Cuál es el área del círculo?

Responder:

Área de un círculo es

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Explicación:

La imagen de arriba refleja las condiciones establecidas en el problema. Todos los ángulos (agrandados para una mejor comprensión) están en radianes contando desde el eje X horizontal #BUEY# sinistrórsum.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Tenemos que encontrar el radio de un círculo para determinar su área.

Conocemos ese acorde # AB # tiene longitud #12# y un ángulo entre radios # OA # y #TRANSMISIÓN EXTERIOR# (dónde # O # es un centro de un círculo) es

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Construir una altitud #OH# de un triangulo #Delta AOB # del vértice # O # a un lado # AB #. Ya que #Delta AOB # es isósceles, #OH# Es una media y una bisectriz de ángulo.

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ BOH = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Considera un triángulo rectángulo #Delta AOH #.

Sabemos que el cateto # AH = 6 # y el ángulo # / _ AOH = pi / 24 #.

Por lo tanto, hipotenusa # OA #, que es un radio de nuestro circulo # r #, igual a

# r = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Sabiendo el radio, podemos encontrar un área:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Expresemos esto sin funciones trigonométricas.

Ya que

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

Podemos expresar el área de la siguiente manera:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Otra identidad trigonométrica:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Por lo tanto,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Ahora podemos representar el área de un círculo como

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Responder:

Otro enfoque del mismo resultado.

Explicación:

El acorde AB de longitud 12 en la figura anterior va desde# pi / 12 # a # pi / 6 # en el circulo de radio r y centro O, tomado como origen.

# / _ AOX = pi / 12 # y # / _ CAJA = pi / 6 #

Coordenada tan polar de A # = (r, pi / 12) # y el de B # = (r, pi / 6) #

Aplicando fórmula de distancia para coordenadas polares

la longitud del acorde AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => r ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Así que el área del círculo.

# = pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #