Y = f (x) se da.Gráfico, y = f (3x) -2 e y = -f (x-1)?

Responder:

No tenga papel cuadriculado a mano, así que espero que la descripción ayude.

Explicación:

por # y = f (3x) -2 # primero exprimir el gráfico dado a lo largo del #X# eje por un factor de 3 (de modo que el mínimo de la mano izquierda, por ejemplo, se produce en # x = -2 / 3 #), y luego empujar el gráfico entero abajo por 2 unidades. Así, la nueva gráfica tendrá un mínimo de #x = -2 / 3 # con un valor de # y = -2 #, un máximo en #(0,0)# y otro mínimo en #(4/3, -4)#

por # y = -f (x-1) # primer desplazamiento de la unidad de gráfico 1 a la Correcto, luego voltearlo al revés! Así, la nueva gráfica tendrá dos maxima a #(-1,0)# y #(5,2)# y un mínimo en #(1,-2) #

Responder:

Aquí hay una explicación más detallada.

Explicación:

Los problemas son casos especiales de un problema más general:

Dada la gráfica para # y = f (x) #, cual es la grafica de #y = a f (b x + c) + d # ?

(el primero es para # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, mientras que el segundo es para # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Trataré de explicar la respuesta en pasos, abordando el problema paso a paso. Será una respuesta bastante larga, pero espero que el principio general quede claro al final.

Para ilustrar usaré una curva particular que se muestra a continuación, pero la idea funcionará en general.

(Si alguien está interesado, la función que se está trazando aquí es #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Dada la gráfica para # y = f (x) #, cual es la grafica de #y = f (x) + d # ?

Este es fácil, todo lo que tienes que hacer es tener en cuenta que si # (x, y) # Es un punto en la primera gráfica, luego # (x, y + d) # Es un punto en el segundo. Esto significa que el segundo gráfico es más alto que el primero por una distancia #re# (Por supuesto si #re# es negativo, es más bajo que el primer gráfico por # | d | #).

Entonces, la gráfica de # y = f (x) + 1 # estarán

Como puedes ver, la gráfica de #y = f (x) + 1 # (la línea púrpura continua) se obtiene simplemente presionando la gráfica para # y = f (x) # (la línea discontinua gris) arriba por una unidad.

La grafica para # y = f (x) -1 # Se puede encontrar presionando el gráfico original. abajo por una unidad:

2) Dada la gráfica para # y = f (x) #, cual es la grafica de #y = f (x + c) # ?

Es fácil ver que si # (x, y) # es un punto en el # y = f (x) # graficar, entonces # (x-c, y) # será un punto en el #y = f (x + c) # grafico. Esto significa que puedes obtener la gráfica de #y = f (x + c) # de la gráfica de #y = f (x) # simplemente moviéndolo a la izquierda por #do# (Por supuesto si #do# es negativo, debes desplazar la gráfica original # | c | # a la derecha.

Como ejemplo, la gráfica para # y = f (x + 1) # Se puede encontrar empujando el gráfico original a la izquierda por una unidad:

mientras que para # y = f (x-1) # implica empujar el gráfico original a la Correcto por una unidad:

3) Dada la gráfica para # y = f (x) #, cual es la grafica de #y = f (bx) # ?

Ya que #f (x) = f (b veces x / b) # se deduce que si # (x, y) # es un punto en el #y = f (x) # graficar, entonces # (x / b, y) # es un punto en el # y = f (bx) # grafico.

Esto significa que el gráfico original tiene que ser exprimido por un factor de #segundo# a lo largo de #X# eje. Por supuesto, la compresión por #segundo# es realmente un extensión por # 1 / b # para el caso donde # 0 <b <1 #

La grafica para # y = f (2x) # es

Tenga en cuenta que mientras la altura permanece igual en 1, la anchura se reduce en un factor de 2. En particular, el pico de la curva original ha cambiado de # x = 1 # a # x = 1/2 #.

Por otro lado, la gráfica para # y = f (x / 2) # es

Tenga en cuenta que este gráfico es el doble de ancho (apretando por #1/2# siendo lo mismo que estirar por un factor de 2), y el pico también se ha movido desde # x = 1 # a # x = 2 #.

Mención especial merece el caso en el que #segundo# es negativo Quizás sea mejor pensar en esto como un proceso de dos pasos.

• Primero encuentra la gráfica de # y = f (-x) #, y entonces
• apretar el gráfico resultante por # | b | #

Tenga en cuenta que para cada punto # (x, y) # de la gráfica original, el punto # (- x, y) # es un punto en la gráfica de # y = f (-x) # - por lo que el nuevo gráfico se puede encontrar al reflejar el antiguo sobre el # Y # eje.

Como una ilustración del proceso de dos pasos, considere la gráfica de # y = f (-2x) # mostrado a continuación:

Aquí la curva original, que para # y = f (x) # se voltea primero sobre el # Y # eje para obtener la curva de # y = f (-x) # (la delgada línea cian). Esto es luego comprimido por un factor de #2# para obtener la curva para # y = f (-2x) # - La gruesa curva morada.

4) Dada la gráfica para # y = f (x) #, cual es la grafica de #y = af (x) # ?

El patrón es el mismo aquí - si # (x, y) # Es un punto en la curva original, entonces # (x, ay) # es un punto en la gráfica de # y = af (x) #

Esto significa que para una positiva #una#, la gráfica se estira por un factor de #una# a lo largo de # Y # eje. De nuevo, un valor de #una# entre 0 y 1 significa que, en lugar de estirarse, la curva se comprimirá por un factor de # 1 / a # a lo largo de # Y # eje.

La curva de abajo es para # y = 2f (x) #

Tenga en cuenta que mientras el pico está en el mismo valor de #X# - su altura se ha duplicado a 2 desde 1. Por supuesto, no es solo el pico lo que se ha estirado; # y # La coordenada de cada punto de la curva original se ha duplicado para obtener la nueva curva.

La siguiente figura ilustra la compresión que se produce cuando #0<>

Una vez más, el caso de #a <0 # tiene especial cuidado, y es mejor si lo hace en dos pasos

1. Primero voltea la curva boca abajo sobre la #X# eje para obtener la curva de # y = -f (x) #
2. Estirar la curva por # | a | # a lo largo de # Y # eje.

La curva para # y = -f (x) # es

mientras que la imagen de abajo ilustra los dos pasos involucrados en el dibujo de la curva para #y = -2f (x) #

Poniendolo todo junto

Ahora que hemos pasado por los pasos individuales, ¡pongámoslos todos juntos! El procedimiento para dibujar la curva para

# y = a f (bx + c) + d #

a partir de eso de # y = f (x) # se compone esencialmente de los siguientes pasos

1. Trazar la curva de # y = f (x + c) #: desplazar la gráfica por una distancia #do# a la izquierda
2. Luego traza eso de #y = f (bx + c) #: aprieta la curva que obtienes del paso 1 en el #X# dirección por el factor # | b | #, (primero voltearlo sobre la # Y # eje si #b <0 #)
3. Luego traza la gráfica de # y = af (bx + c) #: escala la curva que obtuviste del paso 2 a un factor de #una# en la direccion vertical
4. Finalmente, empuja la curva que obtienes en el paso 3 hacia arriba una distancia #re# Para obtener el resultado final.

Por supuesto, debe llevar a cabo los cuatro pasos solo en casos extremos, ¡a menudo es suficiente con un número menor de pasos! Además, la secuencia de pasos es importante.

En caso de que se lo pregunte, estos pasos se derivan del hecho de que si # (x, y) # es un punto en el # y = f (x) # gráfico, luego el punto

# ({x-c} / b, ay + d) # esta en # y = af (bx + c) + d # grafico.

Permítanme ilustrar el proceso mediante un ejemplo con nuestra función. #f (x) #. Intentemos construir la gráfica para #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Primero - el desplazamiento a la izquierda por 3 unidades.

Luego: apretar por un factor de 2 a lo largo del #X# eje

Luego, volteando la gráfica sobre el #X# eje y luego la escala por un factor de 2 a lo largo # Y #

Finalmente, cambiando la curva hacia arriba en 1 unidad - ¡y hemos terminado!