Al hacer los multiplicadores de langrage para el cálculo 3 ... digamos que ya encontré mis puntos críticos y obtuve un valor de ellos. ¿Cómo puedo saber si es un valor mínimo o máximo?

Responder:

Una manera posible es la arpillera (2da prueba derivativa)

Explicación:

Por lo general, para verificar si los puntos críticos son minutos o máximos, a menudo utilizará la segunda prueba derivativa, que requiere que encuentre 4 derivadas parciales, asumiendo que #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #y #f _ {"yy"} (x, y) #

Tenga en cuenta que si ambos #f _ {"xy"} # y #f _ {"yx"} # Son continuos en una región de interés, serán iguales.

Una vez que haya definido esos 4, puede usar una matriz especial llamada Hessian para encontrar el determinante de esa matriz (que, a veces de manera confusa, también se conoce como Hessian), que le dará cierta información sobre La naturaleza del punto. Así, define la Matriz de Hesse como:

#H = | (f_ {"xx"} color (blanco) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} color (blanco) (, aa) f_ {yy}) | #

Una vez que haya establecido esa matriz (y será una matriz de "función", ya que los contenidos serán funciones de x e y), puede tomar uno de sus puntos críticos y evaluar todo el determinante de la matriz. A saber:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Dependiendo de los resultados de ese cálculo, puede conocer la naturaleza del punto crítico:

Si #H> 0 #, hay un mínimo / máximo en ese punto. Comprobar el signo de #f _ {"xx"} #. Si es positivo, el punto es un min. Si es negativo, el punto es un máx. (Esto es análogo a la segunda prueba derivativa "tradicional" para funciones de una sola variable de x).

Si #H <0 #, hay un punto de silla en ese punto.

Si #H = 0 #, la prueba no es concluyente y debe confiar en otros medios, como un gráfico de la función para determinar visualmente.