¿Cómo encuentra el volumen de la región encerrada por las curvas y = x ^ 2 - 1 e y = 0 girado alrededor de la línea x = 5?

Responder:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Explicación:

Para calcular este volumen, en cierto sentido vamos a cortarlo en rebanadas (infinitamente delgadas).

Nos imaginamos la región, para ayudarnos con esto, he incluido el gráfico donde la región es la parte debajo de la curva. Notamos eso # y = x ^ 2-1 # cruza la linea # x = 5 # dónde # y = 24 # y que cruce la linea # y = 0 # dónde # x = 1 # gráfica {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Al cortar esta región en rodajas horizontales con altura. # dy # (una altura muy pequeña). La longitud de estos cortes depende mucho de la coordenada y. para calcular esta longitud necesitamos saber la distancia desde un punto # (y, x) # en la línea # y = x ^ 2-1 # hasta el punto (5, y). Por supuesto esto es # 5-x #Pero queremos saber de qué depende. # y #. Ya que # y = x ^ 2-1 #, sabemos # x ^ 2 = y + 1 #, Desde que tenemos #x> 0 # Para la región que nos interesa, # x = sqrt (y + 1) #, por lo tanto esta distancia depende de # y #, que vamos a denotar como #r (y) # es dado por #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Ahora rotamos esta región alrededor # x = 5 #, esto significa que cada corte se convierte en un cilindro con altura. # dy # y radio #r (y) #, por lo tanto un volumen #pir (y) ^ 2dy #. Todo lo que tenemos que hacer ahora es sumar estos volúmenes infinitamente pequeños mediante la integración. Notamos eso # y # viene de #0# a #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20) / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.