¿Cómo escribes la fracción parcial descomposición de la expresión racional (3x) / (x ^ 3 - 2x ^ 2 - x + 2)?

Responder:

# (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #

Explicación:

Para escribir la expresión dada en fracciones parciales, pensamos en factorizar el denominador.

Vamos a factorizar el denominador

#color (azul) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = color (azul) (x ^ 2 (x-2) - (x-2)) #

# = color (azul) ((x-2) (x ^ 2-1)) #

Aplicando la identidad de los polinomios:

#color (naranja) (a ^ 2-b ^ 2 = (a-b) (a + b)) #

tenemos:

#color (azul) (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) #

# = color (azul) ((x-2) (x ^ 2-1 ^ 2)) #

# = color (azul) ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

Vamos a descomponer la expresión racional encontrando # A, B y C #

#color (marrón) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) = color (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x +2)) #

#color (marrón) (A / (x-2) + B / (x-1) + C / (x + 1)) #

# = color (marrón) ((A (x-1) (x + 1)) / (x-2) + (B (x-2) (x + 1)) / (x-1) + (C (x-2) (x-1)) / (x + 1)) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2 + x-2x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-x-2x +2)) / (x + 1) #

# = (A (x ^ 2-1)) / (x-2) + (B (x ^ 2-x-2)) / (x-1) + (C (x ^ 2-3x + 2)) / (x + 1) #

# = (Hacha ^ 2-A + Bx ^ 2-Bx-2B + Cx ^ 2-3Cx + 2C) / ((x-2) (x-1) (x + 1) #

# = color (marrón) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) #

# = color (marrón) (((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) / ((x-2) (x-1) (x + 1)) = color (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) #

Entonces, #rArrcolor (marrón) ((A + B + C) x ^ 2 + (- B-3C) x + (- A-2B + 2C)) = color (verde) (3x) #

Tenemos un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. # A, B y C #

# A + B + C = 0 # eq1

# -B-3C = 3 # eq2

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

Empezando a resolver el sistema.

eq2:# -B-3C = 3rArr-B = 3 + 3CrArrcolor (rojo) (B = -3-3C) #

Sustituyendo #SEGUNDO# en eq1 tenemos:

# A + B + C = 0 #

# A-3-3C + C = 0rArrA-3-2C = 0rArrcolor (rojo) (A = 3 + 2C) #

Sustituyendo #B y C #en eq3 tenemos:

# -A-2B + 2C = 0 # eq3

# rArr- (color (rojo) (3 + 2C)) - 2 (color (rojo) (- 3-3C)) + 2C = 0 #

# rArr-3-2C + 6 + 6C + 2C = 0 #

# rArr + 3 + 6C = 0 #

# rArr6C = -3 #

#rArrcolor (rojo) (C = -1 / 2) #

#color (rojo) (B = -3-3C) = - 3-3color (rojo) (- 1/2) = - 3 + 3/2 #

#color (rojo) (B = -3 / 2 #

#color (rojo) (A = 3 + 2C) = 3 + 2 (-1/2) = 3-1 #

#color (rojo) (A = 2) #

Sustituyamos los valores:

#color (verde) ((3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2)) = color (marrón) (color (rojo) 2 / (x-2) + (color (rojo) (- 3 / 2)) / (x-1) + color (rojo) ((- 1/2)) / (x + 1)) #

Por lo tanto, # (3x) / (x ^ 3-2x ^ 2-x + 2) = 2 / (x-2) -3 / (2 (x-1)) - 1 / (2 (x + 1)) #