El triángulo A tiene un área de 15 y dos lados de longitud 4 y 9. El triángulo B es similar al triángulo A y tiene un lado de longitud 7. ¿Cuáles son las áreas máximas y mínimas posibles del triángulo B?

Responder:

Hay un posible tercer lado de alrededor #11.7# en el triángulo A. Si se escalara a siete, obtendríamos un área mínima de # 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #.

Si la longitud del lado #4# escalado a #7# obtendríamos un área máxima de #735/16.#

Explicación:

Este es quizás un problema más complicado de lo que parece. ¿Alguien sabe cómo encontrar el tercer lado, que parece que necesitamos para este problema? El trigonometraje normal nos hace calcular los ángulos, haciendo una aproximación donde no se requiere ninguno.

Realmente no se enseña en la escuela, pero la forma más fácil es el teorema de Arquímedes, una forma moderna del teorema de Heron. Llamemos al área de A #UNA# y relacionarlo con los lados de A # a, b # y #do.#

# 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

#do# Solo aparece una vez, así que eso es nuestro desconocido. Vamos a resolverlo.

# (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2 #

# c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 pm sqrt {4 a ^ 2 b ^ 2 - 16A ^ 2} #

Tenemos # A = 15, a = 4, b = 9. #

# c ^ 2 = 4 ^ 2 + 9 ^ 2 pm sqrt {4 (4 ^ 2) (9 ^ 2) - 16 (15) ^ 2} = 97 pm sqrt {1584} #

#c = sqrt {97 pm 12 sqrt {11}} #

#c aprox. 11.696 or7.563 #

Son dos valores diferentes para #do#, cada uno de los cuales debe dar lugar a un triángulo de área #15#. El signo más uno nos interesa porque es más grande que los otros dos lados.

Para el área máxima, la escala máxima, eso significa las escalas laterales más pequeñas para #7#, para un factor de escala de #7/4# así que una nueva área (que es proporcional al cuadrado del factor de escala) de #(7/4)^2(15) = 735/16#

Para un área mínima las escalas laterales más grandes #7# para una nueva área de

# 15 (7 / (sqrt {97 + 12 sqrt {11}})) ^ 2 = 735 / (97 + 12 sqrt (11)) #