¿Qué es phi, cómo se descubrió y para qué sirve?

¿Qué es phi, cómo se descubrió y para qué sirve?
Anonim

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Unos pocos pensamientos …

Explicación:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # Es conocido como el Ratio Dorado.

Fue conocido y estudiado por Euclides (aproximadamente del siglo III o IV aC), básicamente por muchas propiedades geométricas …

Tiene muchas propiedades interesantes, de las cuales aquí hay algunas …

La secuencia de Fibonacci se puede definir recursivamente como:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Comienza:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

La relación entre términos sucesivos tiende a #fi#. Es decir:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

De hecho, el término general de la secuencia de Fibonacci viene dado por la fórmula:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Un rectángulo con lados en proporción #phi: 1 # Se llama un rectángulo de oro. Si se elimina un cuadrado de tamaño máximo de un extremo de un rectángulo dorado, el rectángulo restante es un rectángulo dorado.

Esto se relaciona tanto con la proporción limitante de la secuencia de Fibonacci como con el hecho de que:

#phi = 1; barra (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …))))) #

que es la fracción continua estándar de convergencia más lenta.

Si coloca tres rectángulos de oro simétricamente perpendiculares entre sí en un espacio tridimensional, entonces las doce esquinas forman los vértices de un icosaedro regular. Por lo tanto, podemos calcular el área de superficie y el volumen de un icosaedro regular de radio determinado. Ver

Un triángulo isósceles con lados en proporción #phi: phi: 1 # tiene ángulos de base # (2pi) / 5 # y ángulo de vértice # pi / 5 #. Esto nos permite calcular fórmulas algebraicas exactas para #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # y en última instancia para cualquier múltiplo de # pi / 60 # (#3^@#). Ver