Las dos esquinas de un triángulo isósceles están en (7, 5) y (3, 6). Si el área del triángulo es 6, ¿cuáles son las longitudes de los lados del triángulo?

Responder:

Hay un par de maneras de hacerlo; el camino con la menor cantidad de pasos se explica a continuación.

La pregunta es ambigua acerca de cuáles dos lados tienen la misma longitud. En esta explicación, asumiremos que los dos lados de igual longitud son los que aún no se han encontrado.

Explicación:

Una longitud de lado que podemos averiguar solo a partir de las coordenadas que nos han dado.

# a = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# a = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# a = sqrt (16 + 1) #

# a = sqrt17 #

Luego podemos usar la fórmula para el área de un triángulo en términos de sus longitudes de lado para averiguar #segundo# y #do#.

# A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

dónde # s = (a + b + c) / 2 # (llamó al semiperímetro)

Ya que # a = sqrt (17) # es conocido, y asumimos # b = c #, tenemos

# s = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (rojo) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Sustituyendo esto en la fórmula del área anterior, así como # A = 6 # y # a = sqrt17 #, obtenemos

# 6 = sqrt ((color (rojo) (sqrt (17) / 2 + b)) (color (rojo) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (color (rojo) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (color (rojo) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# b = sqrt (865/68) = c #

Nuestra solucion es # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Nota al pie 1:

Es posible tener un triángulo con dos lados de longitud. #sqrt (17) # y área # A = 6 # (es decir, tener # a = b = sqrt (17) # en lugar de # b = c #). Esto conducirá a una solución diferente.

Nota al pie 2:

También podríamos haber resuelto esta pregunta al encontrar las coordenadas del tercer punto. Esto habría implicado:

a) encontrando la longitud del lado conocido #una#

b) encontrar la pendiente #metro# entre los dos puntos dados

c) encontrar el punto medio # (x_1, y_1) # entre los dos puntos dados

d) encontrar la "altura" # h # de este triángulo usando # A = 1/2 ah #

e) encontrando la pendiente de la altura utilizando #m_h = (- 1) / m #

f) utilizando tanto la fórmula de punto de pendiente # m_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # y la formula de altura # h = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # Resolver una de las coordenadas del punto 3. # (x_2, y_2) #

g) Después de combinar estas dos ecuaciones, simplificando los rendimientos.

# x_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) conectar los valores conocidos para # h #, # m_h #y # x_1 # Llegar # x_2 #

i) usando una de las dos ecuaciones en (f) para encontrar # y_2 #

j) usar la fórmula de distancia para encontrar las longitudes de los lados restantes (idénticas)

# b = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

Puedes ver por qué el primer método es más fácil.