¿Cómo resolver con integración?

Responder:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Área" = 117/4 #

Explicación:

Q es la intersección x de la línea # 2x + y = 15 #

Para encontrar este punto, vamos # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Asi que # Q = (15 / 2,0) #

P es un punto de intercepción entre la curva y la línea.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# dentro #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # o # x = 3 #

Desde la gráfica, la coordenada x de P es positiva, por lo que podemos rechazar # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

gráfica {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Ahora para el area

Para encontrar el área total de esta región, podemos encontrar dos áreas y sumarlas.

Estas serán el área bajo # y = x ^ 2 # de 0 a 3, y el área debajo de la línea de 3 a 15/2.

# "Área bajo la curva" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Podemos trabajar el área de la línea a través de la integración, pero es más fácil tratarla como un triángulo.

# "Área debajo de la línea" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "área total de la región sombreada" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Responder:

Para 3 y 4

Tom ha terminado 10

Explicación:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Responder:

Vea abajo:

Advertencia: ¡Respuesta larga!

Explicación:

Para 3):

Usando la propiedad:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Por lo tanto:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Para 4):

(la misma cosa)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Sin embargo, debemos intercambiar los límites de la integral, por lo que:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Asi que:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Para 10 (a):

Tenemos dos funciones que se cruzan en #PAG#, entonces en #PAG#:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Convierto la función de línea en forma de pendiente-intersección)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Asi que # x = 3 # Como nosotros a la derecha de la # y # eje, entonces #x> 0 #.

(introduciendo # x = 3 # en cualquiera de las funciones)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Así que la coordenada de #PAG# es #(3,9)#

por # Q #, la línea # y = -2x + 15 # corta el # y #-axis, asi # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7.5 #

Asi que # Q # se encuentra en #(7.5, 0)#

Para el 10 (b).

Construiré dos integrales para encontrar el área. Resolveré las integrales por separado.

El área es:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Resolver primera integral)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(Sustituye los límites en la expresión integrada, recuerda:

Límite superior-inferior para encontrar el valor de la integral)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(resolver segunda integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(límites de sustitución: superior-inferior)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #