¿Cuál es la distancia entre (0, 0, 8) y (9, 2, 0)?

Responder:

La distancia es #sqrt (149) #

Explicación:

La distancia entre dos puntos.

# (x_1, y_1, z_1) #

y

# (x_2, y_2, z_2) #

en # RR ^ 3 # (tres dimensiones) está dada por

# "distancia" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Aplicándolo al problema en cuestión, obtenemos la distancia entre #(0, 0, 8)# y #(9, 2, 0)# como

# "distancia" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

La siguiente es una explicación de dónde proviene la fórmula de la distancia y no es necesaria para entender la solución anterior.

La fórmula de distancia dada anteriormente parece sospechosamente similar a la fórmula de distancia en # RR ^ 2 # (dos dimensiones):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

que proviene de una aplicación simple del teorema de Pitágoras, dibujando un triángulo rectángulo entre dos puntos con las piernas paralelas a la #X# y # y # hachas

Resulta que el # RR ^ 3 # La versión se puede derivar de manera similar. Si utilizamos (a lo sumo) 3 líneas para conectar dos puntos, yendo en paralelo a la #X#, # y #y # z # Ejes, obtenemos una caja con los puntos como esquinas opuestas. Entonces, averigüemos cómo calcular la distancia a través de la diagonal de un cuadro.

Estamos tratando de averiguar la longitud de la línea roja #color (rojo) (AD) #

Como esta es la hipotenusa del triángulo. # ABD #, desde el teorema de Pitágoras:

# (color (rojo) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (color (azul) (BC)) ^ 2 #

# => color (rojo) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (color (azul) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Desafortunadamente, no tenemos la longitud de #color (azul) (BD) # como un dado Para conseguirlo, debemos aplicar nuevamente el teorema de Pitágoras, esta vez al triángulo. # BCD #.

# (color (azul) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Como solo necesitamos el cuadrado de #color (azul) (BD) #, ahora podemos sustituir # ("ii") # dentro #("yo")#:

#color (rojo) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Por último, si tenemos #UNA# a # (x_1, y_1, z_1) # y #RE# a # (x_2, y_2, z_2) #, entonces tenemos las longitudes

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Sustituyendo estos en lo anterior nos da el resultado deseado.

Como nota adicional, mientras que solo podemos hacer fácilmente pruebas geométricas en hasta 3 dimensiones, los matemáticos han generalizado la distancia en # RR ^ n # (#norte# dimensiones). La distancia entre

# (x_1, x_2, …, x_n) # y # (y_1, y_2, …, y_n) # Se define como

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

que coincide con el patrón de # RR ^ 2 # y # RR ^ 3 #.