Supongamos que hay muchos marcianos y terrícolas en una conferencia de paz. Para asegurarnos de que los marcianos permanezcan tranquilos en la conferencia, debemos asegurarnos de que no haya dos marcianos sentados juntos, de manera que entre dos marcianos haya al menos un terrícola (ver detalle)

Responder:

una) # (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

segundo) # (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #

Explicación:

Además de algún razonamiento adicional, usaremos tres técnicas comunes para contar.

En primer lugar, haremos uso del hecho de que si existen #norte# maneras de hacer una cosa y #metro# formas de hacer otra, luego asumiendo que las tareas son independientes (lo que puede hacer por una no se basa en lo que hizo en la otra), existen #Nuevo Méjico# formas de hacer ambas cosas. Por ejemplo, si tengo cinco camisas y tres pares de pantalones, entonces hay #3*5=15# Trajes que puedo hacer.

En segundo lugar, vamos a utilizar que el número de formas de pedido # k # objetos es #k! #. Esto es porque hay # k # formas de elegir el primer objeto, y luego # k-1 # formas de elegir el segundo, y así sucesivamente. Así, el número total de formas es #k (k-1) (k-2) … (2) (1) = k! #

Finalmente, utilizaremos esa cantidad de maneras de elegir. # k # objetos de un conjunto de #norte# objetos es # ((n), (k)) = (n!) / (k! (n-k)!) # (pronunciado como n elegir k). Aquí se da un resumen de cómo llegar a esta fórmula.

a) Si ignoramos las divisiones inicialmente, hay #¡metro!# maneras de ordenar los marcianos y #¡norte!# Maneras de ordenar a los terrícolas. Finalmente, necesitamos ver dónde están colocados los marcianos. Como cada marciano debe colocarse en un extremo o entre dos terrícolas, hay # n + 1 # lugares donde pueden sentarse (uno a la izquierda de cada terrícola, y luego uno más en el extremo derecho). Como los hay #metro# Marcianos, eso significa que hay # ((n + 1), (m)) = ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) # Posibles formas de colocarlos. Por lo tanto, la disposición total de asientos posibles es

#n! m! ((n + 1)!) / (m! (n + 1-m)!) = (n! (n + 1)!) / ((n-m + 1)!) #

b) Este problema es similar al anterior. Para simplificar las cosas, escojamos un terrícola y llamémosle presidente. Debido a que no importa cómo se gire un círculo, en lugar de referirse a los arreglos de asientos basados en un orden absoluto, consideraremos los arreglos de asientos basados en su relación con el presidente.

Al igual que arriba, si partimos del presidente y continuamos en el sentido de las agujas del reloj alrededor del círculo, podemos contar la cantidad de formas de ordenar a los asistentes restantes. Como los hay #metro# Marcianos y # n-1 # restantes terrícolas, hay #¡metro!# maneras de ordenar los marcianos y # (n-1)! # Maneras de ordenar a los terrícolas restantes.

A continuación, una vez más necesitamos posicionar a los marcianos. Esta vez no tenemos un lugar adicional al final, por lo que solo hay #norte# lugares donde pueden sentarse. Entonces hay # ((n), (m)) = (n!) / (m! (n-m)!) # Maneras de colocarlos. Por lo tanto, la disposición total de asientos posibles es

# (n-1)! m! (n!) / (m! (n-m)!) = (n! (n-1)!) / ((n-m)!) #