La vida media del cobalto 60 es de 5 años. ¿Cómo se obtiene un modelo de decaimiento exponencial para el cobalto 60 en la forma Q (t) = Q0e ^ kt?

Responder:

#Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #

Explicación:

Establecemos una ecuación diferencial. Sabemos que la tasa de cambio del cobalto es proporcional a la cantidad de cobalto presente. También sabemos que es un modelo de deterioro, por lo que habrá un signo negativo:

# (dQ) / (dt) = - kQ #

Esta es una diferencia agradable, fácil y separable:

#int (dQ) / (Q) = -k int dt #

#ln (Q) = - kt + C #

#Q (0) = Q_0 #

#ln (Q_0) = C #

# implica ln (Q) = ln (Q_0) - kt #

#ln (Q / Q_0) = -kt #

Eleva cada lado a exponenciales:

# (Q) / (Q_0) = e ^ (- kt) #

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) #

Ahora que conocemos la forma general, tenemos que averiguar qué # k # es.

Que la vida media sea denotada por # tau #.

#Q (tau) = Q_0 / 2 = Q_0e ^ (- ktau) #

# por lo tanto 1/2 = e ^ (- ktau) #

Tomar troncos naturales de ambos lados:

#ln (1/2) = -ktau #

#k = - (ln (1/2)) / tau #

Para la limpieza, reescribir #ln (1/2) = -ln (2) #

# por lo tanto k = ln (2) / tau #

#k = ln (2) / (5) años ^ (- 1) #

# por lo tanto, Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (2)) / 5t) #