¿Cuál es la derivada de f (x) = x (sqrt (1 - x ^ 2))?

Responder:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Explicación:

Requeriremos el uso de dos reglas: la regla del producto y la regla de la cadena. La regla del producto establece que:

# (d (fg)) / dx # = # (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx #.

La regla de la cadena establece que:

# (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx #, dónde # u # es una función de #X# y # y # es una función de # u #.

Por lo tanto, # (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' #

Para encontrar la derivada de #sqrt (1-x ^ 2) #, usa la regla de la cadena, con

#u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' #

# = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) # # = -x / (sqrt (1-x ^ 2)) #.

Sustituyendo este resultado en la ecuación original:

# (df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)) #.