¿Cómo resuelvo esta ecuación?

Responder:

# "Ver explicación" #

Explicación:

# "Primero aplique el teorema de las raíces racionales para encontrar las raíces racionales".

# "Encontramos" x = 1 "como raíz racional." #

# "Entonces" (x-1) "es un factor. Separamos ese factor:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Tenemos una ecuación cúbica restante que no tiene raíces racionales".

# "Podemos resolverlo con la sustitución del método Vieta".

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Sustituir" x = y + 2/9 ". Luego obtenemos" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Sustituir" y = (sqrt (22) / 9) z ". Luego obtenemos" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Sustituir" z = t + 1 / t ". Luego obtenemos" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Sustituyendo" u = t ^ 3 ", produce la ecuación cuadrática:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Una raíz de esta ecuación cuadrática es u = 5.73717252." #

# "Sustituyendo las variables de vuelta, se obtiene:" #

#t = raíz (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Las otras raíces son complejas:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Se pueden encontrar al dividir" (x-1.44631151)) #

Responder:

El cero real racional es # x = 1 #.

Entonces hay un cero real irracional:

# x_1 = 1/9 (2 + raíz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz (3) (305-27sqrt (113))) #

y ceros complejos no reales relacionados.

Explicación:

Dado:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Tenga en cuenta que la suma de los coeficientes es #0#.

Es decir: #3-5+2 = 0#

De ahí podemos deducir que # x = 1 # es un cero y # (x-1) # un factor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (blanco) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

El cúbico restante es algo más complicado …

Dado:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformación Tschirnhaus

Para hacer que la tarea de resolver el cúbico sea más simple, hacemos el cúbico más simple utilizando una sustitución lineal conocida como transformación de Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ 3-486x ^ 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = t ^ 3-66t-610 #

dónde # t = (9x-2) #

Método de cardano

Queremos resolver:

# t ^ 3-66t-610 = 0 #

Dejar # t = u + v #.

Entonces:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Añade la restricción # v = 22 / u # para eliminar el # (u + v) # término y obtener:

# u ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Multiplicar por # u ^ 3 # y reorganizar ligeramente para obtener:

# (u ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Usa la fórmula cuadrática para encontrar:

# u ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Dado que esto es real y la derivación es simétrica en # u # y # v #, podemos usar una de estas raíces para # u ^ 3 # y el otro para # v ^ 3 # para encontrar la raíz real:

# t_1 = raíz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz (3) (305-27sqrt (113)) #

y raíces complejas relacionadas:

# t_2 = raíz omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz omega ^ 2 (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 raíz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz omega (3) (305-27sqrt (113)) #

dónde # omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # Es la raíz cúbica compleja primitiva de #1#.

Ahora # x = 1/9 (2 + t) #. Así que las raíces de nuestro cúbico original son:

# x_1 = 1/9 (2 + raíz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + raíz omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 raíz (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 raíz (3) (305 + 27sqrt (113)) + raíz omega (3) (305-27sqrt (113))) #