¿Cuál es el dominio y el rango de y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3)?

Responder:

Dominio: # (- oo, -3) uu (-3, oo) #

Distancia: # (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #

Explicación:

El dominio es todos los valores de # y # dónde # y # Es una función definida.

Si el denominador es igual a #0#, la función es típicamente indefinida. Así que aquí, cuando:

# x + 3 = 0 #, la función no está definida.

Por lo tanto, en # x = -3 #, la función no está definida.

Por lo tanto, el dominio se declara como # (- oo, -3) uu (-3, oo) #.

El rango es todos los valores posibles de # y #. También se encuentra cuando el discriminante de la función es menor que #0#.

Para encontrar al discriminante (#Delta#), debemos hacer la ecuación una ecuación cuadrática.

# y = (x ^ 2-x-1) / (x + 3) #

#y (x + 3) = x ^ 2-x-1 #

# xy + 3y = x ^ 2-x-1 #

# x ^ 2-x-xy-1-3y = 0 #

# x ^ 2 + (- 1-y) x + (- 1-3y) = 0 #

Esta es una ecuación cuadrática donde # a = 1, b = -1-y, c = -1-3y #

Ya que # Delta = b ^ 2-4ac #, podemos ingresar:

#Delta = (- 1-y) ^ 2-4 (1) (- 1-3y) #

# Delta = 1 + 2y + y ^ 2 + 4 + 12y #

# Delta = y ^ 2 + 14y + 5 #

Otra expresión cuadrática, pero aquí, desde #Delta> = 0 #, es una desigualdad de la forma:

# y ^ 2 + 14y + 5> = 0 #

Resolvemos para # y #. Los dos valores de # y # Lo que obtendremos serán los límites superior e inferior del rango.

Ya que podemos factorizar # ay ^ 2 + by + c # como # (y - (- b + sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) (y - (- b-sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a)) #, podemos decir, aquí:

# a = 1, b = 14, c = 5 #. Introduciendo:

# (- 14 + -sqrt (14 ^ 2-4 * 1 * 5)) / (2 * 1) #

# (- 14 + -sqrt (196-20)) / 2 #

# (- 14 + -sqrt (176)) / 2 #

# (- 14 + -4sqrt (11)) / 2 #

# + - 2sqrt (11) -7 #

Así que los factores son # (y- (2sqrt (11) -7)) (y - (- 2sqrt (11) -7))> = 0 #

Asi que #y> = 2sqrt (11) -7 # y #y <= - 2sqrt (11) -7 #.

En notación de intervalo podemos escribir el rango como:

# (- oo, -2sqrt (11) -7 uu 2sqrt (11) -7, oo) #