¿Cuál es el perímetro de un octágono regular con un radio de longitud 20?

Responder:

Depende:

Si el radio interior es #20#, entonces el perímetro es:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

Si el radio exterior es #20#, entonces el perímetro es:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

Explicación:

Aquí el círculo rojo circunscribe el radio exterior y el círculo verde el interior.

Dejar # r # ser el radio exterior - ese es el radio del círculo rojo.

Luego los vértices del octágono centrado en #(0, 0)# están en:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

La longitud de un lado es la distancia entre # (r, 0) # y # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2+ (r / sqrt (2)) ^ 2) #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

Entonces el perímetro total es:

#color (rojo) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

Así que si el radio exterior es #20#, entonces el perímetro es:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~~ 122.46 #

#color blanco)()#

El radio interior será # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Asi que #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

Entonces el perímetro total es

# 8r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt ((2-sqrt (2)) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 (sqrt (2) (2-sqrt (2))) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2))) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) #

# = color (verde) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

Así que si el radio interno es #20#, entonces el perímetro es:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~~ 132.55 #

#color blanco)()#

¿Qué tan bueno es una aproximación para #Pi# nos da esto?

Mientras estamos aquí, para qué aproximación #Pi# ¿Conseguimos promediando los radios internos y externos?

#pi ~~ 2 (2 (sqrt (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2))) ~~ 3.1876 #

… así que no es genial.

Para obtener una aproximación tan buena como #355/113 ~~ 3.1415929#, el matemático chino Zu Chongzhi utilizó una #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) polígono echado a un lado y barras de conteo.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi