¿Cuál es la ecuación de una parábola con vértice: (8,6) y foco: (3,6)?

Para la parábola se da

#V -> "Vértice" = (8,6) #

#F -> "Focus" = (3,6) #

Debemos averiguar la ecuación de la parábola.

Las ordenadas de V (8,6) y F (3,6) siendo 6 el eje de la parábola serán paralelas al eje x y su ecuación es # y = 6 #

Ahora deje que la coordenada del punto (M) de la intersección de la directriz y el eje de la parábola sea # (x_1,6) #. Entonces V será el punto medio de MF por la propiedad de la parábola. Asi que

# (x_1 + 3) / 2 = 8 => x_1 = 13 #

# "Por lo tanto" M -> (13,6) #

La directriz que es perpendicular al eje (# y = 6 #) tendrá ecuación # x = 13 o x-13 = 0 #

Ahora si# P (h, k) # Sea cualquier punto de la parábola y N es el pie de la perpendicular trazada desde P a la directriz, luego por la propiedad de la parábola.

# FP = PN #

# => sqrt ((h-3) ^ 2 + (k-6) ^ 2) = h-13 #

# => (h-3) ^ 2 + (k-6) ^ 2 = (h-13) ^ 2 #

# => (k-6) ^ 2 = (h-13) ^ 2- (h-3) ^ 2 #

# => (k ^ 2-12k + 36 = (h-13 + h-3) (h-13-h + 3) #

# => k ^ 2-12k + 36 = (2h-16) (- 10) #

# => k ^ 2-12k + 36 + 20h-160 = 0 #

# => k ^ 2-12k + 20h-124 = 0 #

Reemplazando h por x y k por y obtenemos la ecuación requerida de la parábola como

#color (rojo) (y ^ 2-12y + 20x-124 = 0) #