¿Cuál es el área de un trapecio cuyas diagonales son cada una 30 y cuya altura es 18?

Responder:

#S_ (trapecio) = 432 #

Explicación:

Considere la figura 1

En un trapezoide ABCD que satisface las condiciones del problema (donde # BD = AC = 30 #, # DP = 18 #, y AB es paralelo al CD) notamos, aplicando el Teorema de ángulos interiores alternos, que # alfa = delta # y # beta = gamma #.

Si dibujamos dos líneas perpendiculares al segmento AB, formando los segmentos AF y BG, podemos ver que #triangle_ (AFC) - = triangle_ (BDG) # (porque ambos triángulos son rectos y sabemos que la hipotenusa de uno es igual a la hipotenusa del otro y que una pierna de un triángulo es igual a una pierna del otro triángulo) entonces # alfa = beta # => # gamma = delta #.

Ya que # gamma = delta # Podemos ver eso #triangle_ (ABD) - = triangle_ (ABC) # y # AD = BC #, por lo tanto el trapecio es isósceles.

También podemos ver que #triangle_ (ADP) - = triangle_ (BCQ) # => # AP = BQ # (o # x = y # en la figura 2).

Considere la figura 2

Podemos ver que el trapecio en la figura 2 tiene una forma diferente a la de la figura 1, pero ambos satisfacen las condiciones del problema. Presenté estas dos figuras para mostrar que la información del problema no permite determinar los tamaños de la base 1 (#metro#) y de la base 2 (#norte#) del trapecio, pero veremos que no hay necesidad de más información para calcular el área del trapecio.

En #triangle_ (BDP) #

# DB ^ 2 = DP ^ 2 + BP ^ 2 # => # 30 ^ 2 = 18 ^ 2 + (x + m) ^ 2 # => # (x + m) ^ 2 = 900-324 = 576 # => # x + m = 24 #

Ya que # n = m + x + y # y # x = y # => # n = m + 2 * x # y # m + n = m + m + 2 * x = 2 * (x + m) = 2 * 24 # => # m + n = 48 #

#S_ (trapecio) = (base_1 + base_2) / 2 * altura = (m + n) / 2 * 18 = (48 * 18) / 2 = 432 #

Nota: podríamos tratar de determinar metro y norte conjugando estas dos ecuaciones:

En #triangle_ (ADP) -> AD ^ 2 = AP ^ 2 + h ^ 2 # => # AD ^ 2 = (24-m) ^ 2 + 18 ^ 2 #

En # triángulo_ (ABD) -> AD ^ 2 = AB ^ 2 + BD ^ 2-2 * AB * BD * cos delta # => # AD ^ 2 = m ^ 2 + 30 ^ 2-2 * m * 30 * (4/5) #

(#cos delta = 4/5 # porque #sin delta = 18/30 = 3/5 #)

Pero resolviendo este sistema de dos ecuaciones, solo descubriríamos que metro y el lado ANUNCIO son indeterminados