¿Cómo convertir r = 7 / (5-5costheta) en forma rectangular?

Responder:

Esa es la parábola lateral. # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Explicación:

Este es interesante porque simplemente diverge; El mínimo del denominador es cero. Es una sección cónica; El solo divergente creo que lo hace una parábola. Eso no importa mucho, pero nos dice que podemos obtener una forma algebraica agradable sin funciones trigonométricas o raíces cuadradas.

El mejor enfoque es un poco hacia atrás; Usamos las sustituciones de polar a rectangular cuando parece que la otra manera sería más directa.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Asi que # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Vemos #r> 0. # Comenzamos por borrar la fracción.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Tenemos una #r cos theta # así que eso es #X.#

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Nuestra observación inicial fue #r> 0 # así que la cuadratura está bien.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Ahora sustituimos de nuevo.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Técnicamente, hemos respondido la pregunta en este punto y podríamos detenernos aquí. Pero todavía hay álgebra que hacer, y con suerte una recompensa al final: tal vez podamos demostrar que esto es en realidad una parábola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

gráfico {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Sí, eso es una parábola, rotada. # 90 ^ circ #Desde la orientación habitual.

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