¿Cuál es el límite cuando x se acerca al infinito de (ln (x)) ^ (1 / x)?

Es bastante simple. Debe usar el hecho de que

#ln (x) = e ^ (ln (ln (x))) #

Entonces sabes que

#ln (x) ^ (1 / x) = e ^ (ln (ln (x)) / x) #

Y luego, sucede la parte interesante que podría resolverse de dos maneras: usando la intuición y el uso de las matemáticas.

Comencemos con la parte de la intuición.

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = lim_ (n-> infty) e ^ (("algo más pequeño que x") / x) = e ^ 0 = 1 #

Pensemos por qué es así?

Gracias a la continuidad de # e ^ x # Función que podemos mover al límite:

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) #

Para evaluar este límite. #lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) #, podemos usar la regla de l'Hospital que establece:

#lim_ (n-> infty) (f (x) / g (x)) = lim_ (n-> infty) ((f '(x)) / (g' (x))) #

Por lo tanto, cuando contamos los derivados, obtenemos:

#lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x) = lim_ (n-> infty) (1 / (xln (x))) #

Como los derivados son # 1 / (xln (x)) # para el nominador y #1# para denominador.

Ese límite es fácil de calcular como es # 1 / infty # tipo de límite que es cero.

Por lo tanto, ves que

#lim_ (n-> infty) e ^ (ln (ln (x)) / x = e ^ (lim_ (n-> infty) (ln (ln (x)) / x)) = e ^ 0 = 1 #

Y significa que #lim_ (n-> infty) ln (x) ^ 1 / x = 1 # también.