¿Cuál es la longitud de arco de r (t) = (t, t, t) en lata [1,2]?

Responder:

#sqrt (3) #

Explicación:

Buscamos la longitud de arco de la función vectorial:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # para #t en 1,2 #

Que podemos evaluar fácilmente utilizando:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

Entonces calculamos la derivada, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

Así ganamos la longitud del arco:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Este resultado trivial no debería ser una sorpresa, ya que la ecuación original dada es la de una línea recta.