¿Cuál es el teorema de DeMoivre? + Ejemplo

El teorema de DeMoivre se expande sobre la fórmula de Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

El teorema de DeMoivre dice que:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Ejemplo:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Sin embargo, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Resolución de partes reales e imaginarias de. #X#:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Comparado a #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Estas son las fórmulas de doble ángulo para # cos # y #pecado#

Esto nos permite ampliar #cos (nx) # o #sin (nx) # en términos de poderes de # sinx # y # cosx #

El teorema de DeMoivre se puede llevar más lejos:

Dado # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

#z ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) xx (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isina (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isina (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Así que, si querías expresar # sin ^ nx # en términos de múltiples ángulos de # sinx # y # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Expandir y simplemente, luego ingresar valores para # z ^ n + z ^ (- n) # y # z ^ n-z ^ (- n) # donde sea necesario.

Sin embargo, si se trata de # cos ^ nx #entonces harías # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # y siga los pasos similares.