¿Cómo se escribe un polinomio con función de grado mínimo en forma estándar con coeficientes reales cuyos ceros incluyen -3,4 y 2-i?

Responder:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # con #aq en RR #.

Explicación:

Dejar #PAG# Sé el polinomio del que estás hablando. Asumo #P! = 0 # O sería trivial.

P tiene coeficientes reales, por lo que #P (alfa) = 0 => P (baralfa) = 0 #. Significa que hay otra raíz para P, #bar (2-i) = 2 + i #, de ahí esta forma para #PAG#:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # con #a_j en NN #, #Q en RR X # y #a en RR # porque queremos #PAG# Tener coeficientes reales.

Queremos el grado de #PAG# ser lo más pequeño posible. Si #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # entonces #deg (P) = grado (R) + grado (Q) = suma (a_j + 1) + grado (Q) #. #Q! = 0 # asi que #deg (Q)> = 0 #. Si queremos #PAG# para tener el menor grado posible, entonces #deg (Q) = 0 # (# Q # es solo un número real # q #), por lo tanto #deg (P) = grado (R) # Y aquí incluso podemos decir que #P = R #. #deg (P) # será lo más pequeño posible si cada #a_j = 0 #. Asi que #deg (P) = 4 #.

Así que por ahora, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Vamos a desarrollar eso.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) en RR X #. Así que esta expresión es la mejor. #PAG# ¡Podemos encontrar con esas condiciones!