¿Prueba de que N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) es un número entero?

Responder:

Considerar # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Esto tiene una raíz real que es #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Explicación:

Considera la ecuación:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Usando el método de Cardano para resolverlo, vamos #t = u + v #

Entonces:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Para eliminar el término en # (u + v) #, agregue la restricción # uv = 7 #

Entonces:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Multiplicar por # u ^ 3 # y reorganizar para obtener la cuadrática en # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

Por la fórmula cuadrática, esto tiene raíces:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (blanco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (blanco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (blanco) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Como esto es real y la derivación fue simétrica en # u # y # v #, podemos usar una de estas raíces para # u ^ 3 # y el otro para # v ^ 3 # para deducir que el cero real de # t ^ 3-21t-90 # es:

# t_1 = raíz (3) (45 + 29sqrt (2)) + raíz (3) (45-29sqrt (2)) #

pero nos encontramos con

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Así que el cero real de # t ^ 3-21t-90 # es #6#

Asi que # 6 = raíz (3) (45 + 29sqrt (2)) + raíz (3) (45-29sqrt (2)) #

#color blanco)()#

Nota

Para encontrar la ecuación cúbica, utilicé el método de Cardano al revés.

Responder:

#N = 6 #

Explicación:

Fabricación #x = 45 + 29 sqrt (2) # y #y = 45-29 sqrt (2) # entonces

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

asi que

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

o llamando #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # tenemos

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

con # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # y #z = 6 # es una raíz tan

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #