¿Cuáles son la asíntota (s) y el (los) orificio (s), si existen, de f (x) = xsin (1 / x)?

Responder:

Consulte a continuación.

Explicación:

Bueno, obviamente hay un agujero en # x = 0 #, desde división por #0# no es posible.

Podemos graficar la función:

gráfico {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

No hay otras asíntotas o agujeros.

Responder:

#f (x) # tiene un agujero (discontinuidad removible) en # x = 0 #.

También tiene una asíntota horizontal. # y = 1 #.

No tiene asíntotas verticales o inclinadas.

Explicación:

Dado:

#f (x) = x sin (1 / x) #

Usaré algunas de las propiedades de #sin (t) #, a saber:

• #abs (sin t) <= 1 "" # para todos los valores reales de # t #.

• #lim_ (t-> 0) sin (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # para todos los valores de # t #.

Primera nota que #f (x) # Es una función par:

#f (-x) = (-x) sin (1 / (- x)) = (-x) (- sin (1 / x)) = x sin (1 / x) = f (x) #

Encontramos:

#abs (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x) #

Asi que:

# 0 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sen (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

Ya que esto es #0#, Asi es #lim_ (x-> 0+) x sin (1 / x) #

Además, desde #f (x) # incluso:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x sin (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x sin (1 / x) = 0 #

Tenga en cuenta que #f (0) # No está definido, ya que implica división por #0#, pero existen límites tanto a la izquierda como a la derecha y están de acuerdo en # x = 0 #, por lo que tiene un agujero (discontinuidad removible) allí.

También encontramos:

#lim_ (x-> oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) sin (t) / t = 1 #

Similar:

#lim_ (x -> - oo) x sin (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) sin (t) / t = 1 #

Asi que #f (x) # tiene una asíntota horizontal # y = 1 #

gráfico {x sin (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}