Sin el uso de la función de resolución de una calculadora, ¿cómo resuelvo la ecuación: x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = 0?

Responder:

Los ceros son # x = 5 #, # x = -2 #, # x = 1 + -sqrt (2) i #

Explicación:

#f (x) = x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 #

Se nos dice que # (x-5) # Es un factor, así que sepáralo:

# x ^ 4-5x ^ 3-x ^ 2 + 11x-30 = (x-5) (x ^ 3-x + 6) #

Se nos dice que # (x + 2) # También es un factor, tan separado que:

# x ^ 3-x + 6 = (x + 2) (x ^ 2-2x + 3) #

El discriminante del factor cuadrático restante es negativo, pero aún podemos usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces complejas:

# x ^ 2-2x + 3 # está en la forma # ax ^ 2 + bx + c # con # a = 1 #, # b = -2 # y # c = 3 #.

Las raíces están dadas por la fórmula cuadrática:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (2 + -sqrt ((- 2) ^ 2- (4 * 1 * 3))) / (2 * 1) #

# = (2 + -sqrt (4-12)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (-8)) / 2 #

# = (2 + -sqrt (8) i) / 2 #

# = (2 + -2sqrt (2) i) / 2 #

# = 1 + -sqrt (2) i #

Probemos sin saber eso. # (x-5) # y # (x + 2) # son factores

El término constante es igual al producto de las raíces, por lo que

# 30 = r_1 * r_2 * r_3 * r_4 #.

Este coeficiente es un valor entero cuyos factores son #pm 1, pm 2, pm 5, pm3 # Probando esos valores podemos ver que

#p (-2) = p (5) = 0 # obteniendo dos raices.

Podemos representar el polinomio como

# x ^ 4 - 5 x ^ 3 - x ^ 2 + 11 x - 30 = (x-5) (x + 2) (x² + a x + b) #

Calculando el lado derecho y comparando ambos lados obtenemos

# -5 = a-3 #

# -1 = b-3a-10 #

# 11 = -10a-3b #

# -30 = -10b #

Resolviendo para # (a, b) # obtenemos # a = -2, b = 3 #

Evaluando las raíces de # x ^ 2-2x + 3 = 0 # obtenemos # 1 - i sqrt 2, 1 + i sqrt 2 #