Dado
# S_n = n ^ 2 + 20n + 12, #
# "where" n = + ve "integer" #
La expresión dada se puede organizar de diferentes maneras asociadas con un cuadrado perfecto de números enteros. Solo se han mostrado 12 arreglos.
# S_n = (n + 1) ^ 2 + 18n + 11 ……… 1 #
# S_n = (n + 2) ^ 2 + 16n + 8 ………. 2 #
# S_n = (n + 3) ^ 2 + 14n + 3 ………. 3 #
# S_n = (n + 4) ^ 2 + 12n-4 ………. 4 #
# S_n = (n + 5) ^ 2 + 10n-13 ……… 5 #
# S_n = (n + 6) ^ 2 + color (rojo) (8 (n-3) ……… 6) #
# S_n = (n + 7) ^ 2 + 6n-37 ………. 7 #
# S_n = (n + 8) ^ 2 + color (rojo) (4 (n-13) ……… 8) #
# S_n = (n + 9) ^ 2 + 2n-69 ………. 9 #
# S_n = (n + 10) ^ 2-88 ………….. 10 #
# S_n = (n + 11) ^ 2-2n-109 ……… 11 #
# S_n = (n + 12) ^ 2-4 (n + 33) ……… 12 #
En la inspección de más de 10 relaciones vemos que # S_n # será el cuadrado perfecto en dos casos, es decir, 6 y 8, cuando n = 3 y n = 13 respectivamente.
Así que la suma de todos los valores posibles de n para los cuales # S_n # es un cuadrado perfecto es = (3 + 13) = 16.
# S_n # Puede ser un cuadrado perfecto distinto de estos dos para valor negativo de n. Caso 12 donde # n = -33 # Es uno de esos ejemplos.
