¿Cuál es la longitud del arco de (t-3, t + 4) en t en [2,4]?

Responder:

# A = 2sqrt2 #

Explicación:

La fórmula para la longitud del arco paramétrico es:

# A = int_a ^ b sqrt ((dx / dt) ^ 2 + (dy / dt) ^ 2) dt #

Comenzamos por encontrar los dos derivados:

# dx / dt = 1 # y # dy / dt = 1 #

Esto da que la longitud del arco es:

# A = int_2 ^ 4sqrt (1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_2 ^ 4sqrt2 dt = sqrt2t _2 ^ 4 = 4sqrt2-2sqrt2 = 2sqrt2 #

De hecho, como la función paramétrica es tan simple (es una línea recta), ni siquiera necesitamos la fórmula integral. Si trazamos la función en un gráfico, podemos usar la fórmula de distancia regular:

# A = sqrt ((x_1-x_2) ^ 2 + (y_1-y_2) ^ 2) = sqrt (4 + 4) = sqrt8 = sqrt (4 * 2) = 2sqrt2 #

Esto nos da el mismo resultado que la integral, mostrando que cualquiera de los dos métodos funciona, aunque en este caso, recomendaría el método gráfico porque es más simple.