Un triángulo tiene vértices A (a, b), C (c, d) y O (0, 0). ¿Cuál es la ecuación y el área del círculo circunscrito del triángulo?

Responder:

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s quad # dónde

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

#A = pi s #

Explicación:

Generalicé la pregunta; vamos a ver cómo va eso. Dejé un vértice en el origen, lo que lo hace un poco menos desordenado, y un triángulo arbitrario se traduce fácilmente.

El triángulo es, por supuesto, totalmente inesencial a este problema. El círculo circunscrito es el círculo a través de los tres puntos, que son los tres vértices. El triángulo hace una aparición sorpresa en la solución.

Alguna terminología: el círculo circunscrito se llama triángulo circuncírculo y su centro del triangulo circuncentro.

La ecuación general para un círculo con centro. # (p, q) # y radio cuadrado # s # es

# (x-p) ^ 2 + (y-q) ^ 2 = s #

y el área del círculo es #A = pi s. #

Tenemos tres incógnitas # p, q, s # Y sabemos tres puntos, así que obtenemos tres ecuaciones:

# p ^ 2 + q ^ 2 = s quad # Porque el origen está en el círculo.

# (a-p) ^ 2 + (b-q) ^ 2 = s #

# (c-p) ^ 2 + (d-q) ^ 2 = s #

Resolvamos las ecuaciones simultáneas. Vamos a convertirlos en dos ecuaciones lineales al expandir y restar pares, lo que equivale a perder # p ^ 2 + q ^ 2 # a la izquierda y # s # a la derecha.

# a ^ 2 - 2ap + p ^ 2 + b ^ 2 - 2aq + q ^ 2 = s #

Restando, # a ^ 2 + b ^ 2 - 2ap - 2bq = 0 #

# 1/2 (a ^ 2 + b ^ 2) = ap + bq #

Similar, # 1/2 (c ^ 2 + d ^ 2) = cp + dq #

Son dos ecuaciones en dos incógnitas. # AX = K # tiene solución # X = A ^ {- 1} K. # Recuerdo la matriz de dos por dos que no sé cómo formatear, #A ^ {- 1} = 1 / {ad-bc} (stackrel {d, -b} {-c, a}) #

Para nosotros eso significa

#p = {d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

#q = {a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)} / {2 (ad-bc)} #

y un radio cuadrado de

#s = p ^ 2 + q ^ 2 #

#s = {(d (a ^ 2 + b ^ 2) - b (c ^ 2 + d ^ 2)) ^ 2 + (a (c ^ 2 + d ^ 2) -c (a ^ 2 + b ^ 2)) ^ 2} / {4 (ad-bc) ^ 2} #

#s = ((a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) ((a-c) ^ 2 + (b-d) ^ 2)) / (4 (ad-b c) ^ 2) #

por lo que un área de #Pi# veces esa cantidad.

Podemos ver que la expresión se vuelve más simétrica si consideramos lo que sucede para el triángulo arbitrario #(A B C D E F).# Nosotros fijamos # a = A-E, ## b = B-F, ## c = C-E, ## d = D-F # Pero no voy a resolver eso ahora.

Anotaré el numerador de # s # es el producto de las tres longitudes cuadradas de los lados del triángulo, y el denominador de # s # Es dieciséis veces el área cuadrada del triángulo.

En trigonometría racional se denominan longitudes cuadradas. quadrances y dieciséis veces el área cuadrada se llama el quadrea Encontramos que la cuadratura del radio del circuncírculo es el producto de la cuadratura del triángulo dividida por su cuadrícula.

Si solo necesitamos el radio o el área del circuncírculo, podemos resumir el resultado aquí como:

El radio cuadrado del circuncírculo es el producto de las longitudes cuadradas del triángulo dividido por dieciséis veces el área cuadrada del triángulo.

# r ^ 2 = {a ^ 2b ^ 2c ^ 2} / {16A ^ 2} #