Tenemos un techo de medio cilindro de radio r y altura r montado encima de cuatro paredes rectangulares de altura h. Tenemos 200π m ^ 2 de lámina de plástico para usar en la construcción de esta estructura. ¿Cuál es el valor de r que permite el volumen máximo?

Responder:

# r = 20 / sqrt (3) = (20sqrt (3)) / 3 #

Explicación:

Permítanme repetir la pregunta como la entiendo.

Siempre que la superficie de este objeto sea # 200pi #maximizar el volumen.

Plan

Conociendo la superficie, podemos representar una altura. # h # en función del radio # r #, entonces podemos representar el volumen como una función de un solo parámetro - radio # r #.

Esta función necesita ser maximizada usando # r # como parámetro Eso le da el valor de # r #.

Área de superficie contiene:

4 paredes que forman una superficie lateral de un paralelepípedo con un perímetro de una base # 6r # y altura # h #, que tienen área total de # 6rh #.

1 techo, mitad de una superficie lateral de un cilindro de un radio # r # y alto # r #, que tiene area de #pi r ^ 2 #

2 lados del techo, semicírculos de un radio. # r #, área total de la cual es #pi r ^ 2 #.

El área de superficie total resultante de un objeto es

#S = 6rh + 2pi r ^ 2 #

Sabiendo que esto es igual a # 200pi #, podemos expresar # h # en términos de # r #:

# 6rh + 2pir ^ 2 = 200pi #

# r = (100pi-pir ^ 2) / (3r) = (100pi) / (3r) - pi / 3r ##

El volumen de este objeto tiene dos partes: debajo del techo y dentro del techo.

Debajo del techo tenemos un paralelepípedo con área de la base. # 2r ^ 2 # y altura # h #, ese es su volumen es

# V_1 = 2r ^ 2h = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 #

Dentro del techo tenemos medio cilindro con radio. # r # y altura # r #, su volumen es

# V_2 = 1 / 2pir ^ 3 #

Tenemos que maximizar la función.

#V (r) = V_1 + V_2 = 200 / 3pir - 2 / 3pir ^ 3 + 1 / 2pir ^ 3 = 200 / 3pir - 1 / 6pir ^ 3 #

que se ve así (no a escala)

gráfica {2x-0.6x ^ 3 -5.12, 5.114, -2.56, 2.56}

Esta función alcanza su máximo cuando su derivada es igual a cero para un argumento positivo.

#V '(r) = 200 / 3pi - 1 / 2pi r ^ 2 #

En el área de #r> 0 # es igual a cero cuando # r = 20 / sqrt (3) = 20sqrt (3) / 3 #.

Ese es el radio que da el mayor volumen, dada la superficie y la forma de un objeto.