¿Cuáles son los errores comunes que cometen los estudiantes con las elipses en forma estándar?

La forma estándar para una elipse (como la enseño) se parece a: # (x-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) es el centro.

la distancia "a" = la distancia a la derecha / izquierda para moverse desde el centro para encontrar los puntos finales horizontales.

la distancia "b" = qué tan arriba / abajo se mueve desde el centro para encontrar los puntos finales verticales.

Creo que a menudo los estudiantes piensan erróneamente que # a ^ 2 # es la distancia que hay que alejar del centro para ubicar los puntos finales. ¡A veces, esta sería una distancia muy grande para viajar!

Además, creo que a veces los estudiantes suben / bajan por error en lugar de derecha / izquierda cuando aplican estas fórmulas a sus problemas.

Aquí hay un ejemplo para hablar de:

# (x-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

El centro es (1, -4). Debe mover a la derecha e izquierda "a" = 2 unidades para obtener los puntos finales horizontales en (3, -4) y (-1, -4). (ver imagen)

Debe subir y bajar "b" = 3 unidades para obtener los puntos finales verticales en (1, -1) y (1, -7). (ver imagen)

Como a <b, el eje mayor estará en la dirección vertical.

¡Si a> b, el eje mayor irá en la dirección horizontal!

Si necesita encontrar alguna otra información sobre elipsis, ¡haga otra pregunta!

(Confusión sobre si #una# y #segundo# representan los radios mayor / menor, o el #X#- & # y #-radii)

Recordemos que la forma estándar para una elipse centrada en el origen es

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Ya, sin embargo, algunos estarán en desacuerdo con la fórmula mencionada anteriormente. Algunas escuelas de pensamiento sostienen que #una# siempre debe ser más grande que #segundo# y, por lo tanto, representan la longitud del radio mayor (incluso si el radio mayor se encuentra en la dirección vertical, permitiendo así # y ^ 2 / a ^ 2 # en tal caso), mientras que otros sostienen que siempre debe representar la #X#-radio (incluso si el #X#-radio es el radio menor).

Lo mismo ocurre con #segundo#, aunque a la inversa. (es decir, algunos creen que #segundo# siempre debe ser el radio menor, y otros creen que siempre debe ser el radio menor. # y #-radio).

Asegúrese de saber qué método prefiere su instructor (o el programa que está usando). Si no existe una preferencia fuerte, simplemente decida usted mismo, pero ser consistente con tu decisión. Cambiar tu mente a la mitad de la tarea hará que las cosas no estén claras, y cambiar tu mente a la mitad de una tarea. problema sólo conducirá a errores.

(Radio / eje confusión)

La mayoría de los errores en las elipses parecen resultar de esta confusión en cuanto a qué radio es mayor y cuál es menor. Otros errores posibles pueden surgir si uno confunde el radio mayor con el eje mayor (o el radio menor con el eje menor). El eje mayor (o menor) es igual al doble del radio mayor (o menor), ya que es esencialmente el diámetro mayor (o menor). Dependiendo del paso donde ocurra esta confusión, esto puede llevar a errores graves en la escala para la elipse.

(Radio / radio cuadrada confusión)

Un error similar ocurre cuando los estudiantes olvidan que los denominadores (# a ^ 2, b ^ 2 #) son los cuadrados de los radios, y no los radios en sí mismos. No es raro ver a un estudiante con un problema como # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # dibujar una elipse con #X#-radio 9 y # y #-radio 4. Además, esto puede ocurrir junto con el error anterior (confundiendo el radio para el diámetro), lo que lleva a resultados tales como un estudiante con la ecuación anterior dibujando una elipse con un diámetro mayor 9 (y por lo tanto un radio mayor 4.5), en lugar del diámetro mayor correcto 6 (y radio mayor 3).

(Hipérbola y confusión elíptica.) ADVERTENCIA: La respuesta es bastante larga

Otro error relativamente común ocurre si uno recuerda mal la fórmula de la elipse. Específicamente, el más común de estos errores parece ocurrir cuando uno confunde la fórmula de las elipses con la de las hipérbolas (que, recordemos, es # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # o # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # para aquellos centrados en el origen, nuevamente sujeto a las convenciones de etiquetado de ejes enumeradas anteriormente). Para ello, conviene recordar la definición de elipsis e hipérbolas como secciones cónicas.

Específicamente, recuerde que una elipse es el lugar de los puntos relacionados con dos focos # f_1 & f_2 # ubicado a lo largo del eje mayor de manera que, para un punto arbitrario #pag# en el locus, la distancia desde #pag# a # f_1 # (etiquetado # d_1 #) más la distancia desde #pag# a # f_2 # (etiquetado # d_2 #) es igual al doble del radio mayor (es decir, si #una# es el radio mayor, # d_1 + d_2 = 2a #). Además, la distancia desde el centro a cualquiera de estos focos (a veces llamado separación semifocal o excentricidad lineal), asumiendo #una# es el radio mayor, es igual a #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Por el contrario, una hipérbola es el lugar de los puntos relacionados con dos focos de tal manera que, para un punto #pag# en el locus, el valor absoluto de la diferencia entre la distancia del punto al primer foco y la distancia del punto al segundo foco es igual al doble del radio mayor (es decir, con #una# radio mayor # | d_1 - d_2 | = 2a #). Además, la distancia desde el centro de la hipérbola a cualquiera de estos focos (de nuevo, a veces se llama la excentricidad lineal, y sigue suponiendo #una# radio mayor) es igual a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

En relación con la definición de secciones cónicas, la excentricidad #mi# de una sección determina si se trata de un círculo (# e = 0 #), elipse (# 0 <e <1 #), parábola# e = 1 #), o hipérbola (#e> 1 #). Para elipsis e hipérbolas, la excentricidad puede calcularse como la relación de la excentricidad lineal a la longitud del radio mayor; Así, para una elipse será #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (y por lo tanto necesariamente menor que 1), y para una hipérbola será #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (y por lo tanto necesariamente mayor que 1).