¿Cómo encuentra los puntos críticos para f (x) = - (sinx) / (2 + cosx) y el máximo y mínimo local?

Responder:

Los puntos críticos están en:

# ((2pi) / 3, sqrt (3) / 3) #es un punto mínimo

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # Es el punto máximo.

Explicación:

Para encontrar los puntos críticos tenemos que encontrar #f '(x) #

entonces resuelve para #f '(x) = 0 #

#f '(x) = - ((sinx)' (2 + cosx) - (2 + cosx) 'sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (cosx (2 + cosx) - (- sinx) sinx) / (2 + cosx) ^ 2 #

#f '(x) = - (2cosx + cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x)) / (2 + cosx) ^ 2 #

Ya que # cos ^ 2 (x) + sin ^ 2 (x) = 1 # tenemos:

#f '(x) = - (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 #

Déjanos dolce por #f '(x) = 0 #Para encontrar los puntos críticos:

#f '(x) = 0 #

# rArr- (2cosx + 1) / (2 + cosx) ^ 2 = 0 #

# rArr- (2cosx + 1) = 0 #

#rArr (2cosx + 1) = 0 #

# rArr2cosx = -1 #

# rArrcosx = -1 / 2 #

#cos (pi- (pi / 3)) = - 1/2 #

o

#cos (pi + (pi / 3)) = - 1/2 #

Por lo tanto, # x = pi- (pi / 3) = (2pi) / 3 #

o # x = pi + (pi / 3) = (4pi) / 3 #

Vamos a calcular #f ((2pi) / 3) = - sin ((2pi) / 3) / (2 + cos ((2pi) / 3) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (2-1 / 2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 2) / (3/2) #

#f ((2pi) / 3) = - (sqrt (3) / 3) #

Ya que#f (x) # está disminuyendo en # (0, (2pi) / 3) #

Entonces# (((2pi) / 3), - sqrt (3) / 3) # es punto mínimo

Desde entonces la función aumenta hasta # x = (4 (pi) / 3) # entonces el punto

# ((4 (pi) / 3), sqrt (3) / 3) # Es el punto máximo.