¿Cómo encuentro la integral intsin ^ -1 (x) dx?

Por integración por partes, #int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #

Veamos algunos detalles.

Dejar # u = pecado ^ {- 1} x # y # dv = dx #.

#Rightarrow du = {dx} / sqrt {1-x ^ 2} # y # v = x #

Por integración por partes, #int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x-intx / sqrt {1-x ^ 2} dx #

Dejar # u = 1-x ^ 2 #. #Rightarrow {du} / {dx} = - 2x Rightarrow dx = {du} / {- 2x} #

# intx / sqrt {1-x ^ 2} dx = int x / sqrt {u} {du} / {- 2x} = - 1 / 2intu ^ {- 1/2} du #

# = - u ^ {1/2} + C = -sqrt {1-x ^ 2} + C #

Por lo tanto, #int sin ^ {- 1} xdx = xsin ^ {- 1} x + sqrt {1-x ^ 2} + C #

¿Cómo encuentro la integral intarctan (4x) dx?

I = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 8log | (1 + 16x ^ 2) | + C (1) I = inttan ^ -1 (4x) dx Let, tan ^ -1 (4x) = urArr4x = tanurArr4dx = sec ^ 2udurArrdx = 1 / 4sec ^ 2udu I = intu * 1 / 4sec ^ 2udu = 1 / 4intu * sec ^ 2udu Usando Integración por Partes, I = 1/4 [u * intsec ^ 2udu-int (d / (du) (u) * intsec ^ 2udu) du] = 1/4 [u * tanu-int1 * tanudu] = 1/4 [u * tanu-log | secu |] + C = 1/4 [tan ^ -1 (4x) * (4x) -log | sqrt (1 + tan ^ 2u |] + C = x * tan ^ -1 (4x) -1 / 4log | sqrt (1 + 16x ^ 2) | + C Segundo método: (2) I = int1 * tan ^ -1 (4x) dx = tan ^ -1 (4x) * x-i

¿Cómo encuentro la integral intln (2x + 1) dx?

Por sustitución e integración por partes, int ln (2x + 1) dx = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C Veamos algunos detalles. int ln (2x + 1) dx por la sustitución t = 2x + 1. Rightarrow {dt} / {dx} = 2 Rightarrow {dx} / {dt} = 1/2 Rightarrow dx = {dt} / {2} = 1 / 2int ln t dt por Integración por partes, Sea u = ln t y dv = dt Rightarrow du = dt / t y v = t = 1/2 (tlnt-int dt) = 1/2 (tlnt-t) + C al factorizar t, = 1 / 2t (lnt-1) + C volviendo a poner t = 2x + 1, = 1/2 (2x + 1) [ln (2x + 1) -1] + C

¿Cómo encuentro la integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Nuestro objetivo es reducir la potencia de ln x para que la integral sea más fácil de evaluar. Podemos lograr esto utilizando la integración por partes. Tenga en cuenta la fórmula IBP: int u dv = uv - int v du Ahora, dejaremos que u = (lnx) ^ 2, y dv = dx. Por lo tanto, du = (2lnx) / x dx y v = x. Ahora, juntando las piezas, obtenemos: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx ¡Esta nueva integral se ve mucho mejor! Al simplificar un poco y traer la constante al frente, se obtiene: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx Ahora, para deshacernos de esta próxima integral, har