Mostrar que 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1), para n> 1?

Responder:

Abajo

Explicación:

Para mostrar que la desigualdad es verdadera, se usa la inducción matemática.

# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # para #n> 1 #

Paso 1: demostrar que es cierto # n = 2 #

LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #

RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #

Ya que # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, entonces #LHS> RHS #. Por lo tanto, es cierto para # n = 2 #

Paso 2: Supongamos que es cierto para # n = k # donde k es un número entero y #k> 1 #

# 1 + 1 / SQRT2 + … + 1 / sqrtk> = SQRT2 (k-1) # --- (1)

Paso 3: Cuando # n = k + 1 #,

RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #

es decir # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

RHS

=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #

#> = Sqrt2- (SQRT2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # de (1) por supuesto

=# SQRT2-SQRT2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #

=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #

Ya que #k> 1 #, entonces # -1 / sqrt (k + 1) <0 # y desde # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, entonces # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # asi que # 2sqrt2-SQRT2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #

= LHS

Paso 4: Por prueba de inducción matemática, esta desigualdad es verdadera para todos los enteros #norte# mas grande que #1#

La desigualdad como se afirma es falsa.

Por ejemplo, para #n = 3 #:

#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (aprox. 2.3) cancel (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (aprox. 2.8) #

Una contradicción.