Se muestra la gráfica de h (x). El gráfico parece ser continuo en, donde cambia la definición. ¿Demuestre que h es de hecho continuo al encontrar los límites izquierdo y derecho y que se cumple la definición de continuidad?

Responder:

Favor de referirse a la Explicación.

Explicación:

Para mostrar que # h # es continuo, tenemos que comprobar su

continuidad a # x = 3 #.

Lo sabemos, # h # estarán cont. a # x = 3 #, si y solo si, #lim_ (x a 3-) h (x) = h (3) = lim_ (x a 3+) h (x) ………………… ………. (ast) #.

Como #x a 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1 #.

#:. lim_ (x a 3-) h (x) = lim_ (x a 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) + 1 #, # rArr lim_ (x a 3-) h (x) = 4 …………………………….. ………………. (ast ^ 1) #.

Similar, #lim_ (x a 3+) h (x) = lim_ (x a 3+) 4 (0.6) ^ (x-3) = 4 (0.6) ^ 0 #.

# rArr lim_ (x a 3+) h (x) = 4 …………………………….. …………….. (ast ^ 2) #.

Finalmente, #h (3) = 4 (0.6) ^ (3-3) = 4 ………………………….. …… (ast ^ 3) #.

# (ast), (ast ^ 1), (ast ^ 2) y (ast ^ 3) rArr h "es cont. en" x = 3 #.

Responder:

Vea abajo:

Explicación:

Para que una función sea continua en un punto (llámela 'c'), lo siguiente debe ser verdadero:

• #f (c) # debe existir

• #lim_ (x-> c) f (x) # debe existir

El primero se define como verdadero, pero necesitaremos verificar el segundo. ¿Cómo? Bueno, recuerde que para que exista un límite, los límites de la mano derecha e izquierda deben ser iguales al valor. Matemáticamente:

#lim_ (x-> c ^ -) f (x) = lim_ (x-> c ^ +) f (x) #

Esto es lo que necesitaremos verificar:

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

A la izquierda de #x = 3 #, Podemos ver eso #f (x) = -x ^ 2 + 4x + 1 #. Además, a la derecha de (y en) #x = 3 #, #f (x) = 4 (0.6 ^ (x-3)) #. Usando esto:

#lim_ (x-> 3) -x ^ 2 + 4x + 1 = lim_ (x-> 3) 4 (0.6 ^ (x-3)) #

Ahora, solo evaluamos estos límites y verificamos si son iguales:

#-(3^2) + 4(3) + 1 = 4(0.6^(3-3))#

#=> -9 + 12 + 1 = 4(0.6^0)#

#=> 4 = 4#

Entonces, hemos verificado que #f (x) # es continuo en #x = 3 #.

Espero que haya ayudado:)