Si es posible, encuentra una función f tal que grad f = (4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5)?

Responder:

#f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Explicación:

#del_x f = 4 x ^ 3 + 9 x ^ 2 y ^ 2 #

# => f = x ^ 4 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + C_1 (y) #

#del_y f = 6 x ^ 3 y + 6 y ^ 5 #

# => f = 3 x ^ 3 y ^ 2 + y ^ 6 + C_2 (x) #

# "Ahora toma" #

# C_1 (y) = y ^ 6 + c #

# C_2 (x) = x ^ 4 + c #

# "Entonces tenemos una y la misma f, que satisface las condiciones".

# => f (x, y) = x ^ 4 + y ^ 6 + 3 x ^ 3 y ^ 2 + c #

Responder:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Explicación:

Tenemos una mala notación en la pregunta ya que el operador del (o operador de gradiente) es un operador diferencial vectorial, Buscamos una funcion #f (x, y) # tal que

# bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> #

Dónde #bb (grad) # es el operador gradiente:

# "grad" f = bb (grad) f = (parcial f) / (parcial x) bb (ul hat i) + (parcial f) / (parcial x) bb (ul hat j) = << f_x, f_y> > #

De lo cual requerimos que:

# f_x = (parcial f) / (parcial x) = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 # ….. UNA

# f_y = (parcial f) / (parcial y) = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 # ….. B

Si integramos A wrt #X#, mientras se trata # y # como una constante entonces obtenemos:

# f = int 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 dx #

# = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c #

Si integramos B wrt # y #, mientras se trata #X# como una constante entonces obtenemos:

# f = int 6x ^ 3y + 6y ^ 5 dy #

# = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

Dónde #u (y) # es una función arbitraria de # y # solo y #v (x) # es una función arbitraria de #X# solo.

Obviamente, requerimos que estas funciones sean idénticas, por lo tanto tenemos:

# x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + u (y) + c = 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + v (x) + c #

#:. x ^ 4 + u (y) = y ^ 6 + v (x) #

Y así elegimos #v (x) = x ^ 4 # y #u (y) = y ^ 6 #, lo que nos da nuestra solución:

# f = x ^ 4 + 3x ^ 3y ^ 2 + y ^ 6 + c #

Podemos confirmar fácilmente la solución calculando las derivadas parciales:

# f_x = 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2 #, # f_y = 6x ^ 3y + 6y ^ 5 #

#:. bb (grad) f = << 4x ^ 3 + 9x ^ 2y ^ 2, 6x ^ 3y + 6y ^ 5 >> # QED