¿Cuál es la forma estándar de la ecuación de la parábola con una directriz en x = 103 y un foco en (108,41)?

Responder:

# x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

Explicación:

Una parábola es el lugar de un punto, que se mueve de modo que su distancia desde una línea dada llamada directriz y un punto llamado enfoque, sea siempre igual.

Ahora, la distancia entre dos pintas. # (x_1, y_1) # y # (x_2, y_2) # es dado por #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # y distancia de un punto # (x_1, y_1) # de una linea # ax + by + c = 0 # es # | (ax_1 + by_1 + c) / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) | #

Llegando a la parábola con directriz # x = 103 # o # x-103 = 0 # y enfoque #(108,41)#, deja que el punto equidistante de ambos sea # (x, y) #. La distancia de # (x, y) # desde # x-103 = 0 # es

# | (x-103) / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) | = | (x-103) / 1 | = | x-103 | #

y su distancia de #(108,41)# es

#sqrt ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2) #

y como los dos son iguales, la ecuación de la parábola sería

# (108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2 = (x-103) ^ 2 #

o # 108 ^ 2 + x ^ 2-216x + 41 ^ 2 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 103 ^ 2-206x #

o # 11664 + x ^ 2-216x + 1681 + y ^ 2-82y = x ^ 2 + 10609-206x #

o # y ^ 2-82y-10x + 2736 = 0 #

o # 10x = y ^ 2-82y + 2736 #

o # 10x = (y-41) ^ 2 + 1055 #

o en forma de vértice # x = 1/10 (x-41) ^ 2 + 211/2 #

y vértice es #(105 1/2,41)#

Su gráfico aparece como se muestra a continuación, junto con el enfoque y la directriz.

gráfico {(y ^ 2-82y-10x + 2736) ((108-x) ^ 2 + (41-y) ^ 2-0.6) (x-103) = 0 51.6, 210.4, -13.3, 66.1}