Responder:
La ecuación de la parábola es # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
Explicación:
Como eje de simetría es. # x + y + 1 = 0 # y el enfoque está en él, si la abscisa de enfoque es #pag#ordenada es # - (p + 1) # y las coordenadas de enfoque son # (p, - (p + 1)) #.
Además, la directriz será perpendicular al eje de simetría y su ecuación sería de la forma # x-y + k = 0 #
Como cada punto de la parábola está equidistante del foco y la directriz, su ecuación será
# (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y + k) ^ 2/2 #
Esta parábola pasa por #(0,0)# y #(0,1)# y por lo tanto
# p ^ 2 + (p + 1) ^ 2 = k ^ 2/2 # ………………… (1) y
# p ^ 2 + (p + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
Restando (1) de (2), obtenemos
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, lo que da # k = -2p-5/2 #
Esto reduce la ecuación de la parábola a # (x-p) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (x-y-2p-5/2) ^ 2/2 #
y cuando pasa por #(0,0)#, obtenemos
# p ^ 2 + p ^ 2 + 2p + 1 = (4p ^ 2 + 10p + 25/4) / 2 # o # 4p + 2 = 25/4 + 10p #
es decir # 6p = -17 / 4 # y # p = -17 / 24 #
y por lo tanto # k = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
y ecuación de parábola como
# (x + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (x-y-13/12) ^ 2/2 # y multiplicando por #576=24^2#, obtenemos
o # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
o # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
o # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
o # x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
gráfico {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
