¿Cómo resolver 3sin2x + 2cos2x = 3? ¿Es posible convertirlo a sinx = k?

Responder:

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

o si prefieres una aproximación, # x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x aprox. 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #

por supuesto para enteros # k #.

Explicación:

Consejo profesional: es mejor convertirlos en el formulario. #cos x = cos a # que tiene soluciones #x = pm a + 360 ^ circ k quad # para entero # k #.

Este ya se trata # 2x # Así que es más fácil dejarlo así.

Las combinaciones lineales de seno y coseno del mismo ángulo son cosenos de fase desplazada.

# 3 sin (2x) + 2 cos (2x) = 3 #

# sqrt {13} (2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x)) = 3 #

# 2 / sqrt {13} cos (2x) + 3 / sqrt {13) sin (2x) = 3 / sqrt {13} #

Vamos a dejar # theta = arctan (3/2) aprox 56.31 ^ circ #

Realmente nos referimos al del primer cuadrante.

(Si quisiéramos hacer seno en lugar de coseno como lo estamos haciendo, usaríamos #arctan (2/3) #.)

Tenemos #cos theta = 2 / sqrt {13} # y #sin theta = 3 / sqrt {13}. #

# cos theta cos (2x) + sin theta sin (2x) = sin theta #

# cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ - theta) #

# 2x - theta = pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# 2x = theta pm (90 ^ circ - theta) + 360 ^ circ k #

# x = theta / 2 pm (45 ^ circ - theta / 2) + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = theta - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x = arctan (3/2) - 45 ^ circ + 180 ^ circ k #

Ya que #56.31-45 = 11.31#

# x = 45 ^ circ + 180 ^ circ k # o #x aprox. 11.31 ^ circ + 180 ^ circ k #