¿Cuáles son los puntos extremos y de silla de montar de f (x, y) = xy (1-x-y)?

Responder:

Los puntos #(0,0),(1,0)#y #(0,1)# Son puntos de silla de montar. El punto #(1/3,1/3)# Es un punto máximo local.

Explicación:

Podemos expandir #F# a #f (x, y) = xy-x ^ 2y-xy ^ 2 #. A continuación, encuentre las derivadas parciales y ajústelas a cero.

# frac { parcial f} { parcial x} = y-2xy-y ^ 2 = y (1-2x-y) = 0 #

# frac { parcial f} { parcial y} = x-x ^ 2-2xy = x (1-x-2y) = 0 #

Claramente, # (x, y) = (0,0), (1,0), # y #(0,1)# Hay soluciones para este sistema, y también lo son los puntos críticos de #F#. La otra solución se puede encontrar desde el sistema. # 1-2x-y = 0 #, # 1-x-2y = 0 #. Resolviendo la primera ecuación para # y # en términos de #X# da # y = 1-2x #, que se puede insertar en la segunda ecuación para obtener # 1-x-2 (1-2x) = 0 => -1 + 3x = 0 => x = 1/3 #. De esto, # y = 1-2 (1/3) = 1-2 / 3 = 1/3 # también.

Para probar la naturaleza de estos puntos críticos, encontramos segundas derivadas:

# frac { parcial ^ {2} f} { parcial x ^ {2}} = - 2y #, # frac { parcial ^ {2} f} { parcial y ^ {2}} = - 2x #y # frac { parcial ^ {2} f} { parcial x parcial y} = frac { parcial ^ {2} f} { parcial y parcial x} = 1-2x-2y #.

El discriminante es por lo tanto:

# D = 4xy- (1-2x-2y) ^ 2 #

# = 4xy- (1-2x-2y-2x + 4x ^ 2 + 4xy-2y + 4xy + 4y ^ 2) #

# = 4x + 4y-4x ^ 2-4y ^ 2-4xy-1 #

Enchufando los tres primeros puntos críticos en da:

#D (0,0) = - 1 <0 #, #D (1,0) = 4-4-1 = -1 <0 #y #D (0,1) = 4-4-1 = -1 <0 #, haciendo estos puntos puntos de silla de montar.

Enchufando el último punto crítico da. #D (1 / 3,1 / 3) = 4/3 + 4 / 3-4 / 9-4 / 9-4 / 9-1 = 1/3> 0 #. También tenga en cuenta que # frac { parcial ^ {2} f} { parcial x ^ {2}} (1 / 3,1 / 3) = - 2/3 <0 #. Por lo tanto, #(1/3,1/3)# es una ubicación de un valor máximo local de #F#. Puede comprobar que el valor máximo local en sí es #f (1 / 3,1 / 3) = 1/27 #.

A continuación se muestra una imagen del mapa de contorno (de curvas de nivel) de #F# (las curvas donde la salida de #F# es constante), junto con los 4 puntos críticos de #F#.